Question

如图，直线l的解析式为y=-x+4，它与x轴、y轴分别相交于A、B两点．平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴、y轴分别相交于M、N两点，设运动时间为t秒（0＜t≤4）．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）以MN为对角线作矩形OMPN，记△MPN和△OAB重合部分的面积为S₁，在直线m的运动过程中，当t为何值时，S₁为△OAB面积的

5

16

？

Answer 1

分析：（1）由直线的解析式，分别让x、y为0，可求得A、B的坐标；
（2）由已知易求得三角形ABO的面积，然后用t表示出重合部分的面积，根据题意列出方程即可得到答案．

解答：解：（1）A（4，0），B（0，4）；

（2）S_△ABO=

1

2

×4×4=8，
当0＜t≤2时，S_△MNP=

1

2

t²，
如图1由题意得

1

2

t²=8×

5

16

，
解得此时t=

5

（不合题意舍去），
如图2，当2＜t≤4时，
S₁=S_△ABO-S_△OMN-2S_△MAF，
即S₁=8-

1

2

t²-2×

1

2

（4-t）²=

5

16

×8，
解得t=

7

3

或t=3．

点评：本题考查了一次函数的应用；在求解第二问时，要思考全面，分类讨论的应用是正确解答本题的关键．