Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，中线AE与中线CD交于点O，AB=6．
（1）求证：AO：OE=2：1；
（2）求OC的长．

Answer 1

分析：（1）连接DE．根据三角形的中位线定理发现相似三角形，根据相似三角形的性质得到对应边的比相等，从而证明结论；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CD的长，再根据（1）中的结论得到OC的长．

解答：（1）证明：连接DE
则DE是△ABC的中位线，DE∥AC，DE=

1

2

AC
∴∠OAC=∠OED，∠OCA=∠ODE
∴△OAC∽△OED
∴AO：OE=OC：OD=AC：DE=2：1

（2）解：CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，AB=6
∴CD=

1

2

AB=3
由（1）可知，OC：OD=2：1
∴OC=

2

3

CD=2．

点评：此题实际上根据三角形的中位线定理证明了三角形的重心的性质：三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍．