题目内容
如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．
（1）若∠CAE=30°，求∠ACF度数；
（2）求证：AB=CE+BF．
解：（1）∵∠ABC=90°，
∴∠ABE=∠CBF=90°，
在Rt△CBF和Rt△ABE中
，
∴Rt△CBF≌Rt△ABE（HL），
∴∠FCB=∠EAB，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠CAB=∠ACB=45°．
∵∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°，
∴∠BCF=∠BAE=15°，
∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°；
（2）∵Rt△CBF≌Rt△ABE，
∴BE=BF，
∵BC=CE+BE，
∴BC=CE+BF，
∵AB=BC，
∴AB=CE+BF．
分析：（1）根据HL证明Rt△CBF≌Rt△ABE，推出∠FCB=∠EAB，求出∠CAB=∠ACB=45°，求出∠BCF=∠BAE=15°，即可求出答案；
（2）根据全等三角形性质求出BE=BF，根据AB=BC即可求出答案．
点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性质是全等三角形的对应边相等，对应角相等．
∴∠ABE=∠CBF=90°，
在Rt△CBF和Rt△ABE中
，∴Rt△CBF≌Rt△ABE（HL），
∴∠FCB=∠EAB，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠CAB=∠ACB=45°．
∵∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°，
∴∠BCF=∠BAE=15°，
∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°；
（2）∵Rt△CBF≌Rt△ABE，
∴BE=BF，
∵BC=CE+BE，
∴BC=CE+BF，
∵AB=BC，
∴AB=CE+BF．
分析：（1）根据HL证明Rt△CBF≌Rt△ABE，推出∠FCB=∠EAB，求出∠CAB=∠ACB=45°，求出∠BCF=∠BAE=15°，即可求出答案；
（2）根据全等三角形性质求出BE=BF，根据AB=BC即可求出答案．
点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性质是全等三角形的对应边相等，对应角相等．
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