题目内容
在直角△ABC中,∠C=90°,直角边BC与直角坐标系中的x轴重合,其内切圆的圆心坐标为P(0,1),若抛物线y=kx2+2kx+1的顶点为A.求:
(1)求抛物线的对称轴、顶点坐标和开口方向;
(2)用k表示B点的坐标;
(3)当k取何值时,∠ABC=60°?
(1)求抛物线的对称轴、顶点坐标和开口方向;
(2)用k表示B点的坐标;
(3)当k取何值时,∠ABC=60°?
(1)∵y=kx2+2kx+1
∴对称轴x=-1,易见抛物线是以Rt△ABC的直角边AC所在直线为对称轴,
由题易得A(-1,1-k),又当x=0时,y=1
即抛物线过p(0,1),
故k<0开口向下.(4分)
(2)如图,
AC=1-KBC=CO+OB=1+OBAB=AD+BD=AE+OB=AC-CE+OB=OB-k
由勾股定理得(1-k)2+(1+OB)2=(OB-k)2?OB=
?B(
,0)(4分)
(3)∵∠ABC=60°,
∴tan∠ABC=
又tan∠ABC=
=
∴k2+2
k-1=0
∴k^=-
+2,k2=-
-2
又∵k<0
∴k=-
-2.(4分)
∴对称轴x=-1,易见抛物线是以Rt△ABC的直角边AC所在直线为对称轴,
由题易得A(-1,1-k),又当x=0时,y=1
即抛物线过p(0,1),
故k<0开口向下.(4分)
(2)如图,
AC=1-KBC=CO+OB=1+OBAB=AD+BD=AE+OB=AC-CE+OB=OB-k
由勾股定理得(1-k)2+(1+OB)2=(OB-k)2?OB=
k-1 |
k+1 |
k-1 |
k+1 |
(3)∵∠ABC=60°,
∴tan∠ABC=
3 |
又tan∠ABC=
1-k2 |
2k |
3 |
∴k2+2
3 |
∴k^=-
3 |
3 |
又∵k<0
∴k=-
3 |
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