题目内容
【题目】
如图,把△EFP放置在菱形ABCD中,使得顶点E,F,P分别在线段AB,AD,AC上,已知EP=FP=6,EF=,∠BAD=60°,且AB>.
⑴求∠EPF的大小;
⑵若AP=8,求AE+AF的值;
⑶若△EFP的三个顶点E,F,P分别在线段AB,AD,AC上运动,请直接写出AP长的最大值和最小值.
【答案】(1)120°;(2);(3)AP的最大值为12,AP的最小值为6.
【解析】
试题分析:(1)如图,过点P作PG⊥EF于G,已知PE=PF=6,EF=,根据等腰三角形的性质可得FG=EG=,∠FPG=∠EPG=.在Rt△FPG中,由sin∠FPG=可求得∠FPG=60°,所以∠EPF=2∠FPG=120°.(2)作PM⊥AB于M,PN⊥AD于N,根据菱形的性质可得∠DAC=∠BAC,AM=AN,PM=PN,再利用HL证明Rt△PME≌Rt△PNF,即可得NF=ME.又因AP=10,,所以AM= AN =APcos30°==.所以AE+AF=(AM+ME)+(AN-NF)=AM+AN=.(3)如图,当△EFP的三个顶点E,F,P分别在线段AB,AD,AC上运动时,点P在,之间运动,易知,,所以AP的最大值为12,AP的最小值为6.
试题解析:(1)如图,过点P作PG⊥EF于G.
∵PE=PF=6,EF=,
∴FG=EG=,∠FPG=∠EPG=.
在Rt△FPG中,sin∠FPG=.
∴∠FPG=60°,
∴∠EPF=2∠FPG=120°.
(2)作PM⊥AB于M,PN⊥AD于N.
∵AC为菱形ABCD的对角线,
∴∠DAC=∠BAC,AM=AN,PM=PN.
在Rt△PME和Rt△PNF 中,PM=PN,PE=PF,
∴Rt△PME≌Rt△PNF
∴NF=ME.
又AP=10,,
∴AM= AN =APcos30°==.
∴AE+AF=(AM+ME)+(AN-NF)=AM+AN=.
(3) 如图,当△EFP的三个顶点E,F,P分别在线段AB,AD,AC上运动时,点P在,之间运动,易知,,
∴AP的最大值为12,AP的最小值为6.