题目内容
【题目】如图，抛物线y＝
x2+bx+c与直线y＝x+3分别相交于A，B两点，且此抛物线与x轴的一个交点为C，连接AC，BC．已知A（0，3），C（﹣3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MC|的值最大，并求出这个最大值；
（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
；（2）|MB﹣MC|取最大值为
；（3）存在点P（1，6），理由见解析
【解析】
（1）①将A（0，3），C（3，0）代入y＝
x2＋bx＋c，即可求解；
（2）分当点B、C、M三点不共线时、当点B、C、M三点共线时，两种情况分别求解即可；
（3）分当
时、当
时两种情况，分别求解即可．
（1）①将A（0，3），C（﹣3，0）代入y＝x2+bx+c得：
，解得：
，
∴抛物线的解析式是；
（2）将直线y＝x+3表达式与二次函数表达式联立
解得：x＝0或﹣4，
∵A （0，3），∴B（﹣4，1）
①当点B、C、M三点不共线时，
|MB﹣MC|＜BC
②当点B、C、M三点共线时，
|MB﹣MC|＝BC
∴当点、C、M三点共线时，|MB﹣MC|取最大值，即为BC的长，
过点B作x轴于点E，在Rt△BEC中，由勾股定理得BC＝
＝，
∴|MB﹣MC|取最大值为；
（3）存在点P使得以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
设点P坐标为（x，
）（x＞0）
在Rt△BEC中，∵BE＝CE＝1，∴∠BCE＝45°，
在Rt△ACO中，∵AO＝CO＝3，∴∠ACO＝45°，
∴∠ACB＝180°﹣450﹣450＝900，AC＝3，
过点P作PQ⊥PA于点P，则∠APQ＝90°，
过点P作PQ⊥y轴于点G，∵∠PQA＝∠APQ＝90°
∠PAG＝∠QAP，∴△PGA∽△QPA
∵∠PGA＝∠ACB＝90°
∴①当时，
△PAG∽△BAC，
∴
＝
，
解得x1＝1，x2＝0，（舍去）
∴点P的纵坐标为×12+
×1+3＝6，
∴点P为（1，6）；
②当时，
△PAG∽△ABC，
∴＝3，
解得x1＝﹣
（舍去），x2＝0（舍去），
∴此时无符合条件的点P
综上所述，存在点P（1，6）．
