Question

如图1，一辆汽车的背面，有一种特殊形状的刮雨器，忽略刮雨器的宽度可抽象为一条折线OAB，如图2所示，量得连杆OA长为10cm，雨刮杆AB长为48cm，∠OAB=120⁰．若启动一次刮雨器，雨刮杆AB正好扫到水平线CD的位置，如图3所示．

（1）求雨刮杆AB旋转的最大角度及O、B两点之间的距离；（结果精确到0.01）
（2）求雨刮杆AB扫过的最大面积．（结果保留π的整数倍）
（参考数据：sin60°=，cos60°=，tan60°=，≈26.851，可使用科学计算器）

Answer 1

解：（1）∵从点A 旋转到点C为180⁰，
∴雨刮杆AB旋转的最大角度为180⁰。
连接OB，过O点作AB的垂线交BA的延长线于EH，

∵∠OAB=120^0°，∴∠OAE=60^°。
在Rt△OAE中，∵∠OAE=60^0°，OA=10，
∴，
。
∵AB=48，∴EB=AE+AB=53。
在Rt△OEB中，∵OE=，EB=53，
∴（cm）。
∴O、B两点之间的距离为53.70 cm。
（2）∵雨刮杆AB旋转180°得到CD，即△OCD与△OAB关于点O中心对称，
∴△BAO≌△OCD。∴S_△BAO=S_△OCD。
∴雨刮杆AB扫过的最大面积S=π(OB²－OA²) =1392π（cm²）。

试题分析：（1）AB旋转的最大角度为180°；在△OAB中，已知两边及其夹角，可求出另外两角和一边，只不过它不是直角三角形，需要转化为直角三角形来求解，由∠OAB=120⁰想到作AB边上的高，得到一个含60⁰角的Rt△OAE和一个非特殊角的Rt△OEB。在Rt△OAE中，已知∠OAE=60⁰，斜边OA=10，可求出OE、AE的长，从而求得Rt△OEB中EB的长，再由勾股定理求出斜边OB的长。
（2）根据旋转的性质可知，雨刮杆AB扫过的最大面积就是一个半圆环的面积（以OB、OA为半径的半圆面积之差）。