Question

如图，等腰梯形ABCD的顶点都在小正方形的顶点上，能否在DC上找到一点E使得梯形被EA、EB分割成3个相似三角形？如果能，请用符号把它们表示出来，并求相似比；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：由图形可知∠A=∠B=45°，∠D=∠C=135°，AD和BC的长也可求，若要使△ADE∽△ECB．则可选择尝试SAS判定法，取E 在D右边一格顶点上即DE=

1

2

CE问题即可解决．再通过勾股定理计算AE，BE的值利用SAS判定△BEA∽△ADE，所以三个三角形都相似．

解答：解：能在DC上找到一点E使得梯形被EA、EB分割成3个相似三角形，点E 在D右边一格顶点上即DE=

1

2

CE（如图所示）
连接AE，BE，
设每个小正方形的边长为1，
∴AD=BC=

12+12

=

2

．
∵

AD

DE

=

2

1

，

CE

CB

=

2

2

=

2

1

，
又∵等腰梯形ABCD的顶点都在小正方形的顶点上，
∴∠DAB=∠CBA=45°，
∴∠ADE=135°，∠ECB=135°．
∴△ADE∽△ECB．
∴∠AED=∠CBE．
∵∠CEB+∠CBE=45°，
∴∠AED+∠CEB=45°，
∴∠AEB=135°，
由图知AE=

12+22

=

5

，EB=

12+32

=

10

．
∴

BE

AE

=

10

5

=

2

1

，
∴△BEA∽△ADE∽△ECB．
∴能在DC上找到一点E使得梯形被EA、EB分割成3个相似三角形．
它们的相似比为：ED：BC：AE=1：

2

：

5

．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，常用的相似判定方法有：平行线，AA，SAS，SSS；常用到的性质：对应角相等；对应边的比值相等；面积比等于相似比的平方．