Question

（2012•高淳县一模）如图，一张矩形纸片ABCD中，AD＞AB．将矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落到BC边上的点D′，折痕AE交DC于点E．
（1）试用尺规在图中作出点D′和折痕AE（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接DD′、AD′、ED′，则当∠ED′C=

30

°时，△AD′D为等边三角形；
（3）若AD=5，AB=4，求ED的长．

Answer 1

分析：（1）以AD长为半径画弧与BC交于点D′，再做出∠DAD′的平分线，即可得出符合要求的图形；
（2）利用等边三角形的判定，得出当∠ED′C=30°时，△AD′D为等边三角形；
（3）利用勾股定理以及翻折变换性质得出DE=D′E=x，EC=4-x，进而得出即可．

解答：解：（1）如图所示：

（2）当∠ED′C=30°时，
∵DE=D′E，∴∠ED′D=∠D′DE，
∵∠ED′C=30°，
∠ED′D+∠D′DE+∠ED′C=90°，
∴∠ED′D=∠D′DE=30°，
∴∠ADD′=60°，
∵AD=AD′，
∴△AD′D为等边三角形，
故答案为：30；

（3）∵AD=5，AB=4，
∴AD′=5，
∴BD′=

AD′2-AB2

=3，
∴CD′=5-3=2，
设DE=D′E=x，
则EC=4-x，
故EC²+D^′C²=D^′E²，
即（4-x）²+2²=x²，
解得：x=

5

2

，
故ED的长为：

5

2

．

点评：此题主要考查了图形的翻折变换以及勾股定理和基本作图，熟练应用翻折变换图形翻折前后图形不变是解决问题的关键．