题目内容

如图，二次函数y=ax²+x+c的图象与x轴交于点A、B两点，且A点坐标为（-2，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求出这个二次函数的解析式；
（2）直接写出点B的坐标为________；
（3）在x轴是否存在一点P，使△ACP是等腰三角形？若存在，求出满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由；
（4）在第一象限中的抛物线上是否存在一点Q，使得四边形ABQC的面积最大？若存在，请求出Q点坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵y=ax²+x+c的图象经过A（-2，0），C（0，3），
∴c=3，a=- $\text{[math]}$ ，
∴所求解析式为：y=- $\text{[math]}$ x²+x+3，
答：这个二次函数的解析式是y=- $\text{[math]}$ x²+x+3．

（2）解：（6，0），
故答案为：（6，0）．

（3）解：在Rt△AOC中，
∵AO=2，OC=3，∴AC= $\text{[math]}$ ，
，①当P₁A=AC时（P₁在x轴的负半轴），P₁（-2- $\text{[math]}$ ，0）；
②当P₂A=AC时（P₂在x轴的正半轴），P₂（ $\text{[math]}$ -2，0）；
③当P₃C=AC时（P₃在x轴的正半轴），P₃（2，0）；
④当P₄C=P₄A时（P₄在x轴的正半轴），
在Rt△P₄OC中，设P₄O=x，则（x+2）²=x²+3²
解得：x= $\text{[math]}$ ，
∴P₄（ $\text{[math]}$ ，0）；
答：在x轴存在一点P，使△ACP是等腰三角形，满足条件的P点坐标是（-2- $\text{[math]}$ ，0）或（ $\text{[math]}$ -2，0）或（2，0）或（ $\text{[math]}$ ，0）．

（4）解：如图，设Q点坐标为（x，y），因为点Q在y=- $\text{[math]}$ x²+x+3上，
即：Q点坐标为（x，- $\text{[math]}$ x²+x+3），
连接OQ，
S_{四边形ABQC}=S_△AOC+S_△OQC+S_△OBQ，
=3+ $\text{[math]}$ x+3（- $\text{[math]}$ x²+x+3）
=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+12，
∵a＜0，
∴S_{四边形ABQC最大值}= $\text{[math]}$ ，
Q点坐标为（3， $\text{[math]}$ ），
答：在第一象限中的抛物线上存在一点Q，使得四边形ABQC的面积最大，Q点坐标是（3， $\text{[math]}$ ），面积的最大值是 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）因为y=ax²+x+c的图象经过A（-2，0），C（0，3），代入求出c、a的值，即可得到答案；
（2）把y=0代入求出x的值，即可得到答案；
（3）在Rt△AOC中根据勾股定理求出AC，根据等腰三角形的性质求出，①当P₁A=AC时（P₁在x轴的负半轴），P₁（-2- $\text{[math]}$ ，0）；②当P₂A=AC时（P₂在x轴的正半轴），P₂（ $\text{[math]}$ -2，0）；③当P₃C=AC时（P₃在x轴的正半轴），P₃（2，0）；④当P₄C=P₄A时（P₄在x轴的正半轴），P₄（ $\text{[math]}$ ，0），即可得出答案；
（4）设Q点坐标为（x，y），因为点Q在y=- $\text{[math]}$ x²+x+3上，得出Q点坐标为（x，- $\text{[math]}$ x²+x+3），连接OQ，根据S_{四边形ABQC}=S_△AOC+S_△OQC+S_△OBQ，代入求出即可．
点评：本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，等腰三角形的判定，三角形的面积，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．题型较好，综合性强．