Question

【题目】如图，已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于点B（﹣2，0），点C（8，0），与y轴交于点A．

（1）求二次函数y=ax2+bx+4的表达式；
（2）连接AC，AB，若点N在线段BC上运动（不与点B，C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求N点的坐标；
（3）连接OM，在（2）的结论下，求OM与AC的数量关系．

Answer 1

【答案】
（1）

解：将点B，点C的坐标分别代入y=ax2+bx+4可得 ，解得 ，

∴二次函数的表达式为y=﹣ x2+ x+4

（2）

解：设点N的坐标为（n，0）（﹣2＜n＜8），

则BN=n+2，CN=8﹣n．

∵B（﹣2，0），C（8，0），

∴BC=10，

在y=﹣ x2+ x+4中令x=0，可解得y=4，

∴点A（0，4），OA=4，

∴S△ABN= BNOA= （n+2）×4=2（n+2），

∵MN∥AC，

∴ ，

∴ = = ，

∴ ，

∵﹣ ＜0，

∴当n=3时，即N（3，0）时，△AMN的面积最大

（3）

解：当N（3，0）时，N为BC边中点，

∵MN∥AC，

∴M为AB边中点，

∴OM= AB，

∵AB= = =2 ，AC= = =4 ，

∴AB= AC，

∴OM= AC

【解析】（1）由B、C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）可设N（n，0），则可用n表示出△ABN的面积，由NM∥AC，可求得 ，则可用n表示出△AMN的面积，再利用二次函数的性质可求得其面积最大时n的值，即可求得N点的坐标；（3）由N点坐标可求得M点为AB的中点，由直角三角形的性质可得OM= AB，在Rt△AOB和Rt△AOC中可分别求得AB和AC的长，可求得AB与AC的关系，从而可得到OM和AC的数量关系．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数图象以及系数a、b、c的关系的相关知识，掌握二次函数y=ax2+bx+c中，a、b、c的含义：a表示开口方向：a>0时，抛物线开口向上; a<0时，抛物线开口向下b与对称轴有关：对称轴为x=-b/2a;c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）．