题目内容
半径分别为2、3的两圆⊙P、⊙Q外切于点B，AB、BC分别是它们的直径，点D在☉Q上，连接DA交⊙P于点E，连接BD、BE，BD正好平分∠CBE．
（1）试说明：AD是⊙Q的切线
（2）试通过三角形相似求BE的长
（3）试求BD的长．
（1）试说明：AD是⊙Q的切线
（2）试通过三角形相似求BE的长
（3）试求BD的长．
（1）连接QD，
∵QD=QB，
∴∠QDB=∠QBD，
∵BD平分∠CBE，
∴∠EBD=∠CBD，
∴∠EBD=∠QDB，
∴QD∥BE，
∵AB是⊙P的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠QDE=∠AEB=90°，
∴AD是⊙Q的切线．
（2）∵BE∥QD，
∴△AEB∽△ADQ，
∴
=
，
∴
=
，
∴BE=
．
（3）在△AEB中，由勾股定理得：AE=
=
，
∵BE∥QD，
∴
=
，
即
=
，
∴DE=
，
在△BED中，由勾股定理得：BD=
=
=
，
∴BD=
．
∵QD=QB，
∴∠QDB=∠QBD，
∵BD平分∠CBE，
∴∠EBD=∠CBD，
∴∠EBD=∠QDB，
∴QD∥BE，
∵AB是⊙P的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠QDE=∠AEB=90°，
∴AD是⊙Q的切线．
（2）∵BE∥QD，
∴△AEB∽△ADQ，
∴
| BE |
| QD |
| AB |
| AQ |
∴
| BE |
| 3 |
| 2+2 |
| 2+2+3 |
∴BE=
| 12 |
| 7 |
（3）在△AEB中，由勾股定理得：AE=
| AB2-BE2 |
8
| ||
| 7 |
∵BE∥QD，
∴
| AE |
| DE |
| AB |
| BQ |
即
| ||||
| DE |
| 2+2 |
| 3 |
∴DE=
6
| ||
| 7 |
在△BED中，由勾股定理得：BD=
| DE2+BE2 |
(
|
6
| ||
| 7 |
∴BD=
| 6 |
| 7 |
| 14 |
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