题目内容
【题目】在△ACD中,CD=1,AC=3.以AD为直径作⊙O,点C恰在圆上,点B为射线CD上一点,连接BA交⊙O于点E,连接CE交AD于点G,过点A作AF∥CD交DE的延长线于点F.
(1)若∠DAE=30°,求DE的长;
(2)求证:△AEC∽△FAD;
(3)当△GEA∽△FAD时,求DF的长.
【答案】(1)DE=;(2)见解析;(3)DF=
.
【解析】
(1)先利用勾股定理求出AD,再用锐角三角函数即可得出结论;
(2)利用AF∥CD,得出∠ADC=∠FAD,进而得出∠AEC=∠FAD,即可得出结论;
(3)先用相似判断出∠EAG=∠ADF=45°,进而求出AE=,再判断出∠ACE=∠DCE,进而得出△AGH∽△DGC,求出AG,即可得出结论.
解(1):∵点C以AD为直径的圆上,
∴∠ACD=90°,
根据勾股定理得,AD==
=
,
∵点E以AD为直径的圆上,
∴∠AED=90°,
在Rt△ADE中,∠DAE=30°,
∴sin∠DAE=,
∴DE=ADsin∠DAE=×sin30°=
;
(2)∵AF∥CD,
∴∠ADC=∠FAD,
∵∠ADC=∠AEC,
∴∠AEC=∠FAD,
∵∠ACE=∠ADF,
∴△AEC∽△FAD;
(3)如图,
∵△GEA∽△FAD,
∴∠EAG=∠ADF,
∵∠AED=90°,
∴∠EAG=∠ADF=45°,
∴AE=AD=
×
=
,
∵∠EAG=∠ADF,∠DCE=∠DAE,
∴∠DCE=∠ADE,
∵∠ADE=∠ACE,
∴∠ACE=∠DCE,
延长CE交AF的延长线于H,
∵AF∥CD,
∴∠H=∠DCE,
∴∠H=∠ACE,
∴AH=AC=3,
∵AF∥CD,
∴△AGH∽△DGC,
∴,
∴,
∴,
∴AG=,
∵△GEA∽△FAD,
∴,
∴,
∴DF=.

【题目】随着我国经济社会的发展,人民对于美好生活的追求越来越高.某社区为了了解家庭对于文化教育的消费情况,随机抽取部分家庭,对每户家庭的文化教育年消费金额进行问卷调查,根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表.
组別 | 家庭年文化教育消费金额x(元) | 户数 |
A | x≤5000 | 36 |
B | 5000<x≤10000 | 27 |
C | 10000<x≤15000 | m |
D | 15000<x≤20000 | 33 |
E | x>20000 | 30 |
请你根据统计图表提供的信息,解答下列问题:
(1)本次被调查的家庭有 户,表中m= ;
(2)请说明本次调查数据的中位数落在哪一组?
(3)在扇形统计图中,D组所在扇形的圆心角为多少度?
(4)这个社区有2500户家庭,请你估计年文化教育消费在10000元以上的家庭有多少户?