题目内容

【题目】在△ACD中,CD1AC3.以AD为直径作⊙O,点C恰在圆上,点B为射线CD上一点,连接BA交⊙O于点E,连接CEAD于点G,过点AAFCDDE的延长线于点F

1)若∠DAE30°,求DE的长;

2)求证:△AEC∽△FAD

3)当△GEA∽△FAD时,求DF的长.

【答案】1DE;(2)见解析;(3DF

【解析】

1)先利用勾股定理求出AD,再用锐角三角函数即可得出结论;

2)利用AFCD,得出∠ADC=FAD,进而得出∠AEC=FAD,即可得出结论;

3)先用相似判断出∠EAG=ADF=45°,进而求出AE=,再判断出∠ACE=DCE,进而得出△AGH∽△DGC,求出AG,即可得出结论.

解(1):CAD为直径的圆上,

∴∠ACD90°

根据勾股定理得,AD

EAD为直径的圆上,

∴∠AED90°

Rt△ADE中,∠DAE30°

∴sin∠DAE

∴DEADsin∠DAE×sin30°

2∵AF∥CD

∴∠ADC∠FAD

∵∠ADC∠AEC

∴∠AEC∠FAD

∵∠ACE∠ADF

∴△AEC∽△FAD

3)如图,

∵△GEA∽△FAD

∴∠EAG∠ADF

∵∠AED90°

∴∠EAG∠ADF45°

∴AEAD×

∵∠EAG∠ADF∠DCE∠DAE

∴∠DCE∠ADE

∵∠ADE∠ACE

∴∠ACE∠DCE

延长CEAF的延长线于H

∵AF∥CD

∴∠H∠DCE

∴∠H∠ACE

∴AHAC3

∵AF∥CD

∴△AGH∽△DGC

∴AG

∵△GEA∽△FAD

∴DF

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