题目内容
【题目】如图,抛物线y=x2+bx+c与轴交于点A和点B,与y轴交于点C,作直线BC,点B的坐标为(6,0),点C的坐标为(0,﹣6).
(1)求抛物线的解析式并写出其对称轴;
(2)D为抛物线对称轴上一点,当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时,求D点坐标;
(3)若E为y轴上且位于点C下方的一点,P为直线BC上的一点,在第四象限的抛物线上是否存在一点Q.使以C,E,P,Q为顶点的四边形是菱形?若存在,请求出Q点的横坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)函数的对称轴x=2;(2)D(2,﹣8)或(2,4);(3)存在,Q(6﹣2,4﹣8
)或(2,﹣8).
【解析】
(1)将点B、C的坐标代入二次函数表达式,即可求解;
(2)分∠BCD=90°、∠DBC=90°两种情况,分别求解即可;
(3)分CE为菱形的一条边、CE为菱形的对角线两种情况,分别求解即可.
解:(1)将点B、C的坐标代入二次函数表达式得:,解得:
,
故抛物线的表达式为:y=x2﹣2x﹣6,
令y=0,则x=﹣2或6,则点A(﹣2,0),
则函数的对称轴x=2;
(2)①当∠BCD=90°时,
将点B、C的坐标代入一次函数表达式得:
直线BC的表达式为:y=x﹣6,
则直线CD的表达式为:y=﹣x﹣6,
当x=2时,y=﹣8,故点D(2,﹣8);
②当∠DBC=90°时,
同理可得点D(2,4),
故点D(2,﹣8)或(2,4);
(3)①当CE为菱形的一条边时,
则PQ∥CE,设点P(m,m﹣6),则点Q(m,n),
则n=m2﹣2m﹣6…①,
由题意得:CP=PQ,
即m=m﹣6﹣n…②,
联立①②并解得:m=6﹣2,n=4﹣8
,
则点Q(6﹣2,4﹣8
);
②当CE为菱形的对角线时,
则PQ⊥CE,即PQ∥x轴,
设点P(m,m﹣6),则点Q(s,m﹣6),
其中m﹣6=s2﹣2s﹣6…③,
则PC=﹣m,
CQ2=s2+m2,
由题意得:CQ=CP,
即:(﹣m)2=s2+m2…④,
联立③④并解得:m=6或﹣2(舍去6),
故点(2,﹣8);
综上,点Q(6﹣2,4﹣8
)或(2,﹣8).
