题目内容

【题目】如图,抛物线yx2+bx+c与轴交于点A和点B,与y轴交于点C,作直线BC,点B的坐标为(60),点C的坐标为(0,﹣6).

1)求抛物线的解析式并写出其对称轴;

2D为抛物线对称轴上一点,当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时,求D点坐标;

3)若Ey轴上且位于点C下方的一点,P为直线BC上的一点,在第四象限的抛物线上是否存在一点Q.使以CEPQ为顶点的四边形是菱形?若存在,请求出Q点的横坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】1)函数的对称轴x2;(2D2,﹣8)或(24);(3)存在,Q6248)或(2,﹣8).

【解析】

1)将点BC的坐标代入二次函数表达式,即可求解;

2)分∠BCD=90°、∠DBC=90°两种情况,分别求解即可;

3)分CE为菱形的一条边、CE为菱形的对角线两种情况,分别求解即可.

解:(1)将点BC的坐标代入二次函数表达式得:,解得:

故抛物线的表达式为:yx22x6

y0,则x=﹣26,则点A(﹣20),

则函数的对称轴x2

2∠BCD90°时,

将点BC的坐标代入一次函数表达式得:

直线BC的表达式为:yx6

则直线CD的表达式为:y=﹣x6

x2时,y=﹣8,故点D2,﹣8);

∠DBC90°时,

同理可得点D24),

故点D2,﹣8)或(24);

3CE为菱形的一条边时,

PQ∥CE,设点Pmm6),则点Qmn),

nm22m6…①

由题意得:CPPQ

mm6n…②

联立①②并解得:m62n48

则点Q6248);

CE为菱形的对角线时,

PQ⊥CE,即PQ∥x轴,

设点Pmm6),则点Qsm6),

其中m6s22s6…③

PC=﹣m

CQ2s2+m2

由题意得:CQCP

即:(﹣m2s2+m2…④

联立③④并解得:m6或﹣2(舍去6),

故点(2,﹣8);

综上,点Q6248)或(2,﹣8).

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