题目内容
【题目】如图,抛物线y=a(x﹣m)2+2m﹣2(其中m>1)顶点为P,与y轴相交于点A(0,m﹣1).连接并延长PA、PO分别与x轴、抛物线交于点B、C,连接BC,将△PBC绕点P逆时针旋转得△PB′C′,使点C′正好落在抛物线上.
(1)该抛物线的解析式为(用含m的式子表示);
(2)求证:BC∥y轴;
(3)若点B′恰好落在线段BC′上,求此时m的值.
【答案】
(1)y= (x﹣m)2+2m﹣2
(2)
证明:如图1,
设直线PA的解析式为y=kx+b,
∵点P(m,2m﹣2),点A(0,m﹣1).
∴ .
解得: .
∴直线PA的解析式是y= x+m﹣1.
当y=0时, x+m﹣1=0.
∵m>1,
∴x=﹣m.
∴点B的横坐标是﹣m.
设直线OP的解析式为y=k′x,
∵点P的坐标为(m,2m﹣2),
∴k′m=2m﹣2.
∴k′= .
∴直线OP的解析式是y= x.
联立
解得: 或
.
∵点C在第三象限,且m>1,
∴点C的横坐标是﹣m.
∴BC∥y轴
(3)
方法一:
解:若点B′恰好落在线段BC′上,
设对称轴l与x轴的交点为D,连接CC′,如图2,
则有∠PB′C′+∠PB′B=180°.
∵△PB′C′是由△PBC绕点P逆时针旋转所得,
∴∠PBC=∠PB′C′,PB=PB′,∠BPB′=∠CPC′.
∴∠PBC+∠PB'B=180°.
∵BC∥AO,
∴∠ABC+∠BAO=180°.
∴∠PB′B=∠BAO.
∵PB=PB′,PC=PC′,
∴∠PB′B=∠PBB′= ,
∴∠PCC′=∠PC′C= .
∴∠PB′B=∠PCC′.
∴∠BAO=∠PCC′.
∵点C关于直线l的对称点为C′,
∴CC′⊥l.
∵OD⊥l,
∴OD∥CC′.
∴∠POD=∠PCC′.
∴∠POD=∠BAO.
∵∠AOB=∠ODP=90°,∠POD=∠BAO,
∴△BAO∽△POD.
∴ .
∵BO=m,PD=2m﹣2,AO=m﹣1,OD=m,
∴ .
解得:m1=2+ ,m2=2﹣
.
经检验:m1=2+ ,m2=2﹣
都是分式方程的解.
∵m>1,
∴m=2+ .
∴若点B′恰好落在线段BC′上,此时m的值为2+ .
方法二:
∵点C关于直线l的对称点为C″,
∴Px= ,
∵C(﹣m,2﹣2m),P(m,2m﹣2),
∴m= ,
∴C′X=3m,
∴C′(3m,2﹣2m),
∵将△PBC绕点P逆时针旋转,
∴△BCP≌△B′C′P,
∵点B′恰好落在线段BC′上,
∴线段BP所对的∠BCP=∠B′C′P,
∴点P,B,C,C′四点共圆,(同侧共底的两个三角形顶角相等,则四点共圆)
∵CY=C′Y=2﹣2m,
∴CC′⊥BC,
∴BC′为P,B,C,C′四点共圆所在圆的直径,
∴BP⊥C′P,
∴KBP×KC′P=﹣1,
∵P(m,2m﹣2),
∴C′(3m,2﹣2m),B(﹣m,0),
∴ =﹣1,
∴m2﹣4m+2=0,
∴m1=2﹣ ,m2=2+
,
∵m>1,
∴m=2+ .
【解析】(1)解:∵A(0,m﹣1)在抛物线y=a(x﹣m)2+2m﹣2上,
∴a(0﹣m)2+2m﹣2=m﹣1.
∴a= .
∴抛物线的解析式为y= (x﹣m)2+2m﹣2.
所以答案是:y= (x﹣m)2+2m﹣2.

【题目】某市团委举办“我的中国梦”为主题的知识竞赛,甲、乙两所学校参赛人数相等,比赛结束后,发现学生成绩分别为70分,80分,90分,100分,并根据统计数据绘制了如下不完整的统计图表:
乙校成绩统计表
分数(分) | 人数(人) |
70 | 7 |
80 | |
90 | 1 |
100 | 8 |
(1)在图①中,“80分”所在扇形的圆心角度数为 ;
(2)请你将图②补充完整;
(3)求乙校成绩的平均分;
(4)经计算知S甲2=135,S乙2=175,请你根据这两个数据,对甲、乙两校成绩作出合理评价.