题目内容

【题目】如图,抛物线y=a(x﹣m)2+2m﹣2(其中m>1)顶点为P,与y轴相交于点A(0,m﹣1).连接并延长PA、PO分别与x轴、抛物线交于点B、C,连接BC,将△PBC绕点P逆时针旋转得△PB′C′,使点C′正好落在抛物线上.

(1)该抛物线的解析式为(用含m的式子表示);
(2)求证:BC∥y轴;
(3)若点B′恰好落在线段BC′上,求此时m的值.

【答案】
(1)y= (x﹣m)2+2m﹣2
(2)

证明:如图1,

设直线PA的解析式为y=kx+b,

∵点P(m,2m﹣2),点A(0,m﹣1).

解得:

∴直线PA的解析式是y= x+m﹣1.

当y=0时, x+m﹣1=0.

∵m>1,

∴x=﹣m.

∴点B的横坐标是﹣m.

设直线OP的解析式为y=k′x,

∵点P的坐标为(m,2m﹣2),

∴k′m=2m﹣2.

∴k′=

∴直线OP的解析式是y= x.

联立

解得:

∵点C在第三象限,且m>1,

∴点C的横坐标是﹣m.

∴BC∥y轴


(3)

方法一:

解:若点B′恰好落在线段BC′上,

设对称轴l与x轴的交点为D,连接CC′,如图2,

则有∠PB′C′+∠PB′B=180°.

∵△PB′C′是由△PBC绕点P逆时针旋转所得,

∴∠PBC=∠PB′C′,PB=PB′,∠BPB′=∠CPC′.

∴∠PBC+∠PB'B=180°.

∵BC∥AO,

∴∠ABC+∠BAO=180°.

∴∠PB′B=∠BAO.

∵PB=PB′,PC=PC′,

∴∠PB′B=∠PBB′=

∴∠PCC′=∠PC′C=

∴∠PB′B=∠PCC′.

∴∠BAO=∠PCC′.

∵点C关于直线l的对称点为C′,

∴CC′⊥l.

∵OD⊥l,

∴OD∥CC′.

∴∠POD=∠PCC′.

∴∠POD=∠BAO.

∵∠AOB=∠ODP=90°,∠POD=∠BAO,

∴△BAO∽△POD.

∵BO=m,PD=2m﹣2,AO=m﹣1,OD=m,

解得:m1=2+ ,m2=2﹣

经检验:m1=2+ ,m2=2﹣ 都是分式方程的解.

∵m>1,

∴m=2+

∴若点B′恰好落在线段BC′上,此时m的值为2+

方法二:

∵点C关于直线l的对称点为C″,

∴Px=

∵C(﹣m,2﹣2m),P(m,2m﹣2),

∴m=

∴C′X=3m,

∴C′(3m,2﹣2m),

∵将△PBC绕点P逆时针旋转,

∴△BCP≌△B′C′P,

∵点B′恰好落在线段BC′上,

∴线段BP所对的∠BCP=∠B′C′P,

∴点P,B,C,C′四点共圆,(同侧共底的两个三角形顶角相等,则四点共圆)

∵CY=C′Y=2﹣2m,

∴CC′⊥BC,

∴BC′为P,B,C,C′四点共圆所在圆的直径,

∴BP⊥C′P,

∴KBP×KC′P=﹣1,

∵P(m,2m﹣2),

∴C′(3m,2﹣2m),B(﹣m,0),

=﹣1,

∴m2﹣4m+2=0,

∴m1=2﹣ ,m2=2+

∵m>1,

∴m=2+


【解析】(1)解:∵A(0,m﹣1)在抛物线y=a(x﹣m)2+2m﹣2上,
∴a(0﹣m)2+2m﹣2=m﹣1.
∴a=
∴抛物线的解析式为y= (x﹣m)2+2m﹣2.
所以答案是:y= (x﹣m)2+2m﹣2.

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