Question

如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，直径AB左侧的半圆上有一点动点E（不与点A、B重合），连结EB、ED。

（1）如果∠CBD＝∠E，求证：BC是⊙O的切线；
（2）当点E运动到什么位置时，△EDB≌△ABD，并给予证明；
（3）若tanE＝，BC＝，求阴影部分的面积。（计算结果精确到0.1)
(参考数值：π≈3.14, ≈1.41，≈1.73)

Answer 1

解：（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠ABD＋∠BAD＝90°。
又∵∠CBD＝∠E，∠BAD＝∠E，∴∠ABD＋∠CBD＝90°，即∠ADC＝90°。
∴BC⊥AB。∴BC是⊙O的切线。
（2）当点E运动到DE经过点O位置时，△EDB≌△ABD。证明如下：
当点E运动到DE经过点O位置时，∠EBD＝∠ADB＝90°，
又∵∠ABD＝∠E，BD=DB，∴△EDB≌△ABD（AAS）。
（3）如图，连接OD，过点O作OF⊥AD于点F，

∵∠BAD＝∠E，tanE＝，∴tan∠BAD＝。
又∵∠ADB＝90°，∴∠BAD＝30°。
∵∠ABC＝90°，BC＝，∴。
∴AO=2，OF=1，AF=AOcos∠BAD＝。∴AD=。
∵AO=DO，∴∠AOD＝120°。
∴。

试题分析：（1）证明∠ADC＝90°即可。
（2）由AAS可判定当点E运动到DE经过点O位置时，△EDB≌△ABD。
（3）应用锐角三角函数定义求出相关线段和角度，由求解。