题目内容
【题目】如图,已知AB经过圆心O ,交⊙O于点C.
(1)尺规作图:在AB上方的圆弧上找一点D,使得△ABD是以AB为底边的等腰三角形(保留作图痕迹);
(2)在(1)的条件下,若∠DAB=30°,求证:直线BD与⊙O相切.
【答案】(1)作图见解析;(2)证明见解析.
【解析】
(1)作线段AB的垂直一部分线,交AB上方的圆弧上于点D,连接AD,BD,等腰三角形ABD即为所求作;
(2)由等腰三角形的性质可求出∠B=30゜,连接OD,利用三角形外角的性质得∠DOB=60゜,再由三角形内角和求得∠ODB=90゜,从而可证得结论.
(1)如图所示;
(2)∵△ABD是等腰三角形,且∠DAB=30°,
∴∠DBA=30゜,
连接OD,
∵OA=OD
∴∠ODA=∠OAD=30゜
∴∠DOB=∠ODA+∠OAD=60゜
在△ODB中,∠DOB+∠ODB+∠DBO=180゜
∴∠ODB=180゜-∠DOB-∠DBO=90゜,即
∴直线BD与⊙O相切.

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