题目内容

【题目】如图,已知AB经过圆心O ,交⊙O于点C

1)尺规作图:在AB上方的圆弧上找一点D,使得ABD是以AB为底边的等腰三角形(保留作图痕迹);

2)在(1)的条件下,若∠DAB=30°,求证:直线BD与⊙O相切.

【答案】1)作图见解析;(2)证明见解析.

【解析】

1)作线段AB的垂直一部分线,交AB上方的圆弧上于点D,连接ADBD,等腰三角形ABD即为所求作;

2)由等腰三角形的性质可求出∠B=30゜,连接OD,利用三角形外角的性质得∠DOB=60゜,再由三角形内角和求得∠ODB=90,从而可证得结论.

1)如图所示;

2)∵△ABD是等腰三角形,且∠DAB=30°

∴∠DBA=30゜,

连接OD

OA=OD

∴∠ODA=OAD=30

∴∠DOB=ODA+OAD=60

ODB中,∠DOB+ODB+DBO=180

∴∠ODB=180-DOB-DBO=90゜,即

∴直线BD与⊙O相切.

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