题目内容
【题目】已知正方形ABCD如图所示,连接其对角线AC,∠BCA的平分线CF交AB于点F,过点B作BM⊥CF于点N,交AC于点M,过点C作CP⊥CF,交AD延长线于点P.
(1)若正方形ABCD的边长为4,求△ACP的面积;
(2)求证:CP=BM+2FN.
【答案】(1)8 ;(2)证明见解析.
【解析】
试题
(1)由已知条件先证:∠ACP=∠APC=67.5°,可得AP=AC=,再由S△ACP=
AP
CD计算即可;
(2)由已知条件先证:△PDC≌△FBC,可得:CP=CF;在CN上截取NH=FN,连接BH,证△AMB≌△BHC可得:BM=HC,由此可得CF=CH+HF=BM+2FN,从而可得结论.
试题解析:
(1)∵四边形ABCD是正方形,AC是对角线,CF平分∠ACB,
∴∠1=∠2=22.5°,
又∵CP⊥CF,
∴∠3+∠FCD=∠1+∠FCD=90°
∴∠3=∠1=22.5°
∴∠P=67.5°
又四边形ABCD为正方形,
∴∠ACP=45°+22.5°=67.5°
∴∠P=∠ACP
∴AP=AC
又AC=AB=4
,
∴AP=4,
∴S△APC=APCD=
;
(2)∵在△PDC和△FBC中: ,
∴△PDC≌△FBC,
∴CP=CF.
在CN上截取NH=FN,连接BH
∵FN=NH,且BN⊥FH,
∴BH=BF,
∴∠4=∠5,
∴∠4=∠1=∠5=22.5°,
又∠4+∠BFC=∠1+∠BFC=90°,
∴∠HBC=∠BAM=45°,
在△AMB和△BHC中:,
∴△AMB≌△BHC,
∴CH=BM,
∴CF=BM+FH=BM+2FN,
∴CP=BM+2FN.

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