题目内容

【题目】已知正方形ABCD如图所示,连接其对角线AC,BCA的平分线CF交AB于点F,过点B作BMCF于点N,交AC于点M,过点C作CPCF,交AD延长线于点P.

(1)若正方形ABCD的边长为4,求ACP的面积;

(2)求证:CP=BM+2FN.

【答案】(1)8(2)证明见解析.

【解析】

试题

(1)由已知条件先证:∠ACP=∠APC=67.5°,可得AP=AC=,再由S△ACP=APCD计算即可;

(2)由已知条件先证:△PDC≌△FBC可得CP=CF;CN上截取NH=FN,连接BH,△AMB≌△BHC可得BM=HC,由此可得CF=CH+HF=BM+2FN,从而可得结论.

试题解析

(1)∵四边形ABCD是正方形,AC是对角线,CF平分∠ACB,

∴∠1=∠2=22.5°,

∵CP⊥CF,

∴∠3+∠FCD=∠1+∠FCD=90°

∴∠3=∠1=22.5°

∴∠P=67.5°

又四边形ABCD为正方形,

∴∠ACP=45°+22.5°=67.5°

∴∠P=∠ACP

∴AP=AC

AC=AB=4

∴AP=4

∴SAPC=APCD=

(2)∵△PDC△FBC

∴△PDC≌△FBC

∴CP=CF.

CN上截取NH=FN,连接BH

∵FN=NH,且BN⊥FH

∴BH=BF

∴∠4=∠5

∴∠4=∠1=∠5=22.5°

∠4+∠BFC=∠1+∠BFC=90°

∴∠HBC=∠BAM=45°

△AMB△BHC

∴△AMB≌△BHC,

∴CH=BM

∴CF=BM+FH=BM+2FN

∴CP=BM+2FN.

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