题目内容

(2005•十堰)如图,已知抛物线y=x2-2x+n与x轴交于不同的两点A,B,其顶点是C,D是抛物线的对称轴与x轴的交点.
(1)求实数n的取值范围.
(2)求顶点C的坐标;
(3)求线段AB的长;
(4)若直线y=x+1分别交x轴于E,交y轴于F,问△BDC与△EOF是否有可能全等?如果有可能全等请给出证明;如果不可能全等请说明理由.

【答案】分析:(1)已知抛物线与x轴有两个不同的交点,因此令y=0,得出的方程的△>0,据此可求出n的取值范围.
(2)本题用公式法或配方法求解均可.
(3)可求出A、B的横坐标,进而可得出BA的长(也可用韦达定理求解).
(4)先根据直线的解析式求出OE,OF的长,然后看这两个直角三角形的对应边能否对应相等即可.
解答:解:(1)令y=0,则有:x2-2x+n=0,
依题意有:△=4-4n>0,
∴n<1.
由于抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上,
因此0<n<1.

(2)y=x2-2x+n=(x-1)2+n-1,
∴C(1,n-1).

(3)令y=0,x2-2x+n=0,
解得x=1+,x=1-
∴B(1+,0),A(1-,0),
∴AB=2

(4)易知:E(-,0),F(0,1),
∴OE=,OF=1.
由(2)(3)可得BD=,CD=1-n,
①当OE=CD时,1-n==≠1,因此BD≠OF,
∴两三角形不可能全等.
②当OE=BD时,=,1-n=≠1,因此CD≠OF,
∴两三角形不全等.
综上所述,△BDC与△EOF不可能全等.
点评:本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系,全等三角形的判定等知识点.
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