Question

阅读材料：已知一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根分别为x₁、x₂，则x₁+x₂=-

b

a

；x_1x2=

c

a

．根据该材料解答下列问题：
已知x₁、x₂是关于x的方程x²-4kx+4=0的两个实数根，且满足：x₁²+x₂²-6（x₁+x₂）=-8．求k、x₁、x₂的值．

Answer 1

分析：由x₁、x₂是关于x的方程x²-4kx+4=0的两个实数根，利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，把已知的等式变形后，将求出的两根之和与之积代入，求出k的值，确定出方程，利用公式法求出方程的解即可得到x₁、x₂的值．

解答：解：∵x₁、x₂是关于x的方程x²-4kx+4=0的两个实数根，
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=4，
又∵x₁²+x₂²-6（x₁+x₂）=（x₁+x₂）²-2x₁x₂-6（x₁+x₂）=16k²-8-24k=-8，
即k（2k-3）=0，
∴k=0（不合题意，舍去）或k=

3

2

，
将k=

3

2

代入方程得：x²-6x+4=0，
这里a=1，b=-6，c=4，
∵△=b²-4ac=36-16=20，
∴x=

6± 20

2

=3±

5

，
则x₁=3+

5

，x₂=3-

5

．

点评：此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），若方程有解时，设方程的两解分别为x₁、x₂，则有x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．