Question

问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍。

解：设所求方程的根为y，则y=2x，所以

把代入已知方程，得

化简，得：

故所求方程为

这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”。请阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化成一般形式）

（1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：

           ；

（2）已知关于x的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二方程，使它的根分别是已知方程的倒数。

 

Answer 1

【答案】

（1）y²－y－2=0（2）cy²+by+a=0（c≠0）

【解析】解：（1）y²－y－2=0。

           （2）设所求方程的根为y，则（x≠0），于是（y≠0）。

把代入方程，得，

去分母，得a+by+cy²=0。

若c=0，有，可得有一个解为x=0，与已知不符，不符合题意。

∴c≠0。

∴所求方程为cy²+by+a=0（c≠0）。

（1）设所求方程的根为y，则y=－x所以x=－y。

把x=－y代入已知方程，得y²－y－2=0。

（2）根据所给的材料，设所求方程的根为y，再表示出x，代入原方程，整理即得出所求的方程。