题目内容
【题目】阅读下列材料，然后解决问题：和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，
截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题．
（1）如图1，在△ABC中，若AB=12，AC=8，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE，把AB、AC、2AD集中在△ABE中．利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是 ；
（2）问题解决：
如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC+∠ADC=180°，E、F分别是边BC，边CD上的两点，且∠EAF=
∠BAD，求证：BE+DF=EF．
（3）问题拓展：
如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，点D是△ABC外角平分线上一点，DE⊥AC交CA延长线于点E，F是AC上一点，且DF=DB．求证：AC-AE=AF．
【答案】（1）
；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
（1）延长AD到点E使DE=AD，连接BE，证明△ADC≌△EDB，根据全等三角形的性质得到BE=AC，根据三角形三边关系计算；
（2）延长CB到G，使BG=DF，证明△ABG≌△ADF，根据全等三角形的性质得到AG=AF，∠GAB=∠FAD，证明△AEG≌△AEF，根据全等三角形的性质证明；
（3）作DH⊥AB于H，在AB上截取BR=AF，分别证明Rt△DEF≌Rt△DHB，△DAF≌△DRB，根据全等三角形的性质证明．
（1）延长AD到点E使DE=AD，连接BE，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE=AC=8，
AB-BE＜AE＜AB+BE，即21-8＜2AD＜12+8，
∴2＜AD＜10，
故答案为：2＜AD＜10；
（2）证明：延长CB到G，使BG=DF，
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABG=180°，
∴∠ADC=∠ABG，
在△ABG和△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴AG=AF，∠GAB=∠FAD，
∵∠EAF=
∠BAD，
∴∠FAD+∠BAE=∠GAB+∠BAE=∠BAD，
∴∠GAE=∠FAE，
在△AEG和△AEF中，
，
∴△AEG≌△AEF（SAS），
∴EF=GE，
∴EF=BE+BG=BE+DF；
（3）证明：作DH⊥AB于H，在AB上截取BR=AF，
∵∠CAB=60°，∠ACB=90°，
∴∠ABC=30°，
∴AB=2AC，
∵点D是△ABC外角平分线上一点，DE⊥AC，DH⊥AB，
∴DE=DH，AH=AE，
在Rt△DEF和Rt△DHB中，
∴Rt△DEF≌Rt△DHB（HL）
∴∠DFA=∠DBA，
在△DAF和△DRB中，
，
∴△DAF≌△DRB（SAS）
∴DA=DR，
∴AH=HR=AE=AR，
∵AF=BR=AB-AR=2AC-2AE
∴AC-AE=AF．
寒假学与练系列答案
【题目】在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为 20 元/千克，售价不低于 20 元/千克，且不超过 32 元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量 y（千克）与该天的售价 x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系．
销售量 y（千克） | … | 34.8 | 32 | 29.6 | 28 | … |
售价 x（元/千克） | … | 22.6 | 24 | 25.2 | 26 | … |
(1)某天这种水果的售价为 23.5 元/千克，求当天该水果的销售量．
(2)如果某天销售这种水果获利 150 元，那么该天水果的售价为多少元？
