Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，PB与⊙O相切于点B，连接PA交⊙O于点C，连接BC．

（1）求证：∠BAC=∠CBP；

（2）求证：PB2=PCPA；

（3）当AC=6，CP=3时，求sin∠PAB的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．

【解析】试题（1）根据已知条件得到∠ACB=∠ABP=90°，根据余角的性质即可得到结论；

（2）根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；

（3）根据三角函数的定义即可得到结论．

试题解析：（1）∵AB是⊙O的直径，PB与⊙O相切于点B，∴∠ACB=∠ABP=90°，∴∠A+∠ABC=∠ABC+∠CBP=90°，∴∠BAC=∠CBP；

（2）∵∠PCB=∠ABP=90°，∠P=∠P，∴△ABP∽△BCP，∴，∴PB2=PCPA；

（3）∵PB2=PCPA，AC=6，CP=3，∴PB2=9×3=27，∴PB=，∴sin∠PAB==．