Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是（5，4），⊙M与y轴相切于点C，与x轴相交于A，B两点．

（1）请直接写出A，B，C三点的坐标，并求出过这三点的抛物线解析式；

（2）设（1）中抛物线解析式的顶点为E，

求证：直线EA与⊙M相切；

（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，且点P在x轴的上方，使△PBC是等腰三角形？

如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) ;(2)见解析;(3)见解析.

【解析】（1）连接AM，MC，设ME交x轴于点D，由M点的坐标可求得MC、MD的长，可求得C点坐标，在Rt△ADM中可求得AD，则容易求得A、B坐标；

（2）由A点坐标可求得抛物线解析式，则可求得ME的长，由勾股定理的逆定理可判定△AME为直角三角形，则可证得结论；

（3）可设P点坐标为（5，t），则可表示出PB、CP、结合BC的长，当△PBC为等腰三角形时，则有PB=BC，CP=BC，PC=PB三种情况，分别求解即可；

（1）A，B，C的坐标分别是A（2　，0　），B（8　，0　），C（0　，4　）；---3分

设抛物线解析式为，将（0,4）代入得即∴.

（2）证明：把化为y=（x﹣5）2，

∴E（5，﹣），

∴DE=，

∴ME=MD+DE=4+=，EA2=32+（）2=，

∵MA2+EA2=52+=，ME2=，

∴MA2+EA2=ME2，

∴∠MAE=90°，

即EA⊥MA，

∴EA与⊙M相切；

（3）解：存在；点P坐标为（5，4），或（5，），或（5，4+）；理由如下：

由勾股定理得：BC===4，

分三种情况：

①当PB=PC时，点P在BC的垂直平分线上，点P与M重合，

∴P（5，4）；

②当BP=BC=4时，如图2所示：

∵PD===，

∴P（5，）；

③当PC=BC=4时，连接MC，如图3所示：

则∠PMC=90°，

根据勾股定理得：PM===，

∴PD=4+，

∴P（5，4+）；

综上所述：存在点P，且点P在x轴的上方，使△PBC是等腰三角形，

点P的坐标为（5，4），或（5，），或（5，4+）．