题目内容

用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子,小正方形的顶点,叫格点,以格点为顶点的多边形叫格点多边形.设格点多边形的面积为S,它各边上格点的个数和为x.

(1)上图中的格点多边形.其内部都只有1个格点,它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如下表,请写出S与x之间的关系式.
答:S=
1
2
x
1
2
x

多边形的序号
多边形的面积S 2 2.5 3 4
各边上格点的个数和x 4 5 6 8
(2)请你再画出一些格点多边形,使这些多边形内部都有而且只有2个格点.此时所画的各个多边形的面积S与它各边上格点的个数和x之间的关系式是:S=
1
2
x+1
1
2
x+1

(3)请你继续探索,当格点多边形内部有且只有N个格点时,猜想S与x有怎样的关系.答:S=
1
2
x+(N-1)
1
2
x+(N-1)
分析:(1)由(1)可以直接得到S=
1
2
x;
(2)由图可知多边形内部都有而且只有2格点时,⑤的各边上格点的个数为4,面积为3,⑥的各边上格点的个数为10,面积为6,进而得出答案;
(3)由图可知多边形内部都有而且只有N格点时,面积为:S=
1
2
x+(N-1).
解答:解:(1)∵①各边上格点个数和为:4,S=2,②各边上格点个数和为:5,S=2.5,
③各边上格点个数和为:6,S=3,
④各边上格点个数和为:7,S=3.5,
∴S=
1
2
x;

(2)由图可知多边形内部都有而且只有2格点时,
⑤的各边上格点的个数为4,面积为3,
⑥的各边上格点的个数为10,面积为6,
∴S=
1
2
x+1;

(3)由图可知多边形内部都有而且只有N格点时,面积为:S=
1
2
x+(N-1).
故答案为:
1
2
x;
1
2
x+1;
1
2
x+(N-1).
点评:此题主要考查了图形的变化类,此题需要根据图中表格和自己所算得的数据,总结出规律.寻找规律是一件比较困难的活动,需要仔细观察和大量的验算.
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