题目内容
【题目】如图,Rt△ABC中,∠ABC=900,AC=2BC=,点O在边AB上,以点O为圆心,,OB的长为半径的圆恰好与AC相切于D,与边AB相交于点E.
(1)求证:点D为AC的中点;
(2)若点F为半圆BEF上的动点,连接BD、BF、DF,填空:
当∠BDF= 时,四边形BCDF为菱形;
当△BDF为直角三角形时,BF= .
【答案】(1)证明见解析;(2)①60°;②2或1.
【解析】分析:(1)连接OD,只要证明△BCD是等边三角形,△ABD是等腰三角形即可证得结论;
(2)①当DF⊥AB时,四边形BCDF是菱形,因为∠BDC=60°, ∠ADF=60°,可求出∠BOF的度数;
②分别从∠BDF=90°,∠DBF=90°,∠BFD=90°去分析求解,即可求得答案.
详解:,
,
∵BC=CD,
∴△BCD是等边三角形,
∴BC=CD=BD.
如图,连接,
,
,
,
∴∠OBD=∠ODB=30°,
∴∠OBD=∠A,
∴BD=AD,
∴CD=AD,
即点D为AC的中点;
(2)①当DF⊥AB时,四边形BCDF是菱形;
如图,设DF交AB于点M,则DF=2DM,
∵∠A=30°,
∴AD=2DM,
∴DF=AD=BC,
∵∠ABC=90°,
∴DF∥BC,
∴四边形BCDF是平行四边形,
∵BC=CD,
∴四边形BCDF是菱形;
∵∠A=30°,
∴∠ADM=90°-30°=60°,
∴∠BDF=180°-60°-60°=60°,
②若∠BDF=90°,则点E与点F重合,
∵AC=2BC=,
∴BD=,
∴BF=;
若∠DBF=90°,则DF是直径,
∴BF=;
若∠BFD=90°,
∵AD不是直径,
∴∠AED≠90°;
综上可得:当△BDF为直角三角形时,BF等于2或1.
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