Question

如图，已知等边三角形△AEC，以AC为对角线做正方形ABCD（点B在△AEC内，点D在△AEC外）．连接EB，过E作EF⊥AB，交AB的延长线为F．请猜测直线BE和直线AC的位置关系，并证明你的猜想．

Answer 1

分析：直线BE与直线AC的位置关系是垂直，理由为：延长EB，延长线交AC与点M，由三角形AEC为等边三角形得到三条边相等，可得出AE=CE，再由四边形ABCD为正方形得到AB=CB，又EB为公共边，利用SSS可得出三角形AEB与三角形CEB全等，根据全等三角形的对应角相等得到一对角相等，可得出EM为顶角平分线，由等腰三角形的三线合一得到EM垂直于AC，即可得证．

解答：直线BE与直线AC的位置关系是垂直，理由为：
证明：延长EB，延长线与AC交于点M，如图所示：

∵△AEC为等边三角形，四边形ABCD为正方形，
∴AE=EC，AB=BC，
在△AEB和△CEB中，

AE=CE AB=CB EB=EB

，
∴△AEB≌△CEB（SSS），
∴∠AEB=∠CEB，即EB是∠AEC的平分线，
又EA=EC，
∴EM⊥AC，
则直线BE与直线AC的位置关系是垂直．

点评：此题考查了等边三角形、正方形的性质，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．