Question

已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，点M是边AC上一动点（与点A、C不重合），点N在边CB的延长线上，且AM=BN，连接MN交边AB于点P．
（1）求证：MP=NP；
（2）若设AM=x，BP=y，求y与x之间的函数关系式，并写出它的定义域；
（3）当△BPN是等腰三角形时，求AM的长．

Answer 1

分析：（1）过点M作MD∥BC交AB于点D，求出DM=BN，证△MDP≌△NBP即可；
（2）求出AB，根据△MDP≌△NBP推出DP=BP，推出方程

2

x+y+y=4

2

即可；
（3）求出BP=BN，所得方程的解即可．

解答：（1）证明：过点M作MD∥BC交AB于点D，
∵MD∥BC，
∴∠MDP=∠NBP，
∵AC=BC，∠C=90°，
∴∠A=∠ABC=45°，
∵MD∥BC，
∴∠ADM=∠ABC=45°，
∴∠ADM=∠A，
∴AM=DM．
∵AM=BN，
∴BN=DM，
在△MDP和△NBP中

∠MDP=∠NBP ∠MPD=∠NPB DM=BN

，
∴△MDP≌△NBP，
∴MP=NP．

（2）解：在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，AC=BC=4，
∴AB=4

2

．
∵MD∥BC，
∴∠AMD=∠C=90°．
在Rt△ADM中，AM=DM=x，
∴AD=

2

x．
∵△MDP≌△NBP，
∴DP=BP=y，
∵AD+DP+PB=AB，
∴

2

x+y+y=4

2

，
∴所求的函数解析式为y=-

2

2

x+2

2

，
定义域为0＜x＜4．
答：y与x之间的函数关系式为y=-

2

2

x+2

2

，它的定义域是0＜x＜4．

（3）解：∵△MDP≌△NBP，
∴BN=MD=x．
∵∠ABC+∠PBN=180°，∠ABC=45°，
∴∠PBN=135°．
∴当△BPN是等腰三角形时，只有BP=BN，即x=y．
∴x=-

2

2

x+2

2

，
解得x=4

2

-4，
∴当△BPN是等腰三角形时，AM的长为4

2

-4．
答：AM的长为4

2

-4．

点评：本题主要考查对等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，综合运用性质进行推理是解此题的关键．