题目内容
如图9, 已知抛物线与轴交于A (-4,0) 和B(1,0)两点,与轴交于C(0,-2)点.
1.求此抛物线的解析式;
2.设G是线段BC上的动点,作GH//AC交AB于H,连接CF,当△BGH的面积是△CGH面积的3倍时,求H点的坐标;
3.若M为抛物线上A、C两点间的一个动点,过M作轴的平行线,交AC于N,当M点运动到什么位置时,线段MN的值最大,并求此时M点的坐标
1.设二次函数解析式为y=a(x-x1)(x-x2)
∵二次函数与轴交于、两点可得:
∴x1=-4 x2=1……………………………………………….1分
∴y=a(x+4)(x-1)
把C(0,-2)代入y=a(x+4)(x-1)得:a=
故所求二次函数的解析式为y= (x+4)(x-1)
=x2+x-2.
2.∵S△BGH =2 S△CGH
……………………………………………4分
∵GH//AC, ,
∴△BGH~△BAC,
……………6分
故E点的坐标为(,0). ………………………….7分
3.若设直线的解析式为
∵ A、两点的坐标分别为(-4,0)、(0,-2).
则有 解得:
故直线的解析式为.……………………8分
若设M点的坐标为,又N点是过点M所作轴的平行线与直线的交点,则N点的坐标为(.则有:
MN==
=……………………………………….9分
即当时,线段MN取大值,此时M点的坐标为(-2,-3)…………10分
解析:(1)将A、B的坐标代入抛物线的解析式中,即可求出待定系数的值;
(2)根据抛物线的解析式可得出C点的坐标,易证得△ABC是直角三角形,则EF⊥BC;△CEF和△BEF同高,则面积比等于底边比,由此可得出CF=2BF;易证得△BEF∽△BAC,根据相似三角形的性质,即可求得BE、AB的比例关系,由此可求出E点坐标;
(3)PQ的长实际是直线AC与抛物线的函数值的差,可设P点横坐标为m,用m表示出P、Q的纵坐标,然后可得出PQ的长与m的函数关系式,根据所得函数的性质即可求出PQ最大时,m的值,也就能求出此时P点的坐标.