题目内容

如图9, 已知抛物线与轴交于A (-4,0) 和B(1,0)两点,与轴交于C(0,-2)点.

1.求此抛物线的解析式;

2.设G是线段BC上的动点,作GH//AC交AB于H,连接CF,当△BGH的面积是△CGH面积的3倍时,求H点的坐标;

3.若M为抛物线上A、C两点间的一个动点,过M作轴的平行线,交AC于N,当M点运动到什么位置时,线段MN的值最大,并求此时M点的坐标

 

 

1.设二次函数解析式为y=a(x-x1)(x-x2)

∵二次函数与轴交于两点可得:

      ∴x1=-4    x2=1……………………………………………….1分

           ∴y=a(x+4)(x-1)

           把C(0,-2)代入y=a(x+4)(x-1)得:a=

      故所求二次函数的解析式为y= (x+4)(x-1)

=x2+x-2.

2.∵SBGH =2 SCGH

……………………………………………4分

            ∵GH//AC, ,

          ∴△BGH~△BAC,

 ……………6分

故E点的坐标为(,0).    ………………………….7分

3.若设直线的解析式为

∵ A、两点的坐标分别为(-4,0)、(0,-2).

则有 解得:  

故直线的解析式为.……………………8分       

若设M点的坐标为,又N点是过点M所作轴的平行线与直线的交点,则N点的坐标为(.则有:

       MN=

……………………………………….9分

即当时,线段MN取大值,此时M点的坐标为(-2,-3)…………10分

解析:(1)将A、B的坐标代入抛物线的解析式中,即可求出待定系数的值;

(2)根据抛物线的解析式可得出C点的坐标,易证得△ABC是直角三角形,则EF⊥BC;△CEF和△BEF同高,则面积比等于底边比,由此可得出CF=2BF;易证得△BEF∽△BAC,根据相似三角形的性质,即可求得BE、AB的比例关系,由此可求出E点坐标;

(3)PQ的长实际是直线AC与抛物线的函数值的差,可设P点横坐标为m,用m表示出P、Q的纵坐标,然后可得出PQ的长与m的函数关系式,根据所得函数的性质即可求出PQ最大时,m的值,也就能求出此时P点的坐标.

 

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