题目内容

【题目】如图,在ABC中,CD是中线,∠ACB90°ACBC,点EF分别为ABAC上的动点(均不与端点重合),且CEBF,垂足为HBFCD相交于G

1)求证:AECG

2)当线段AECF之间满足什么数量关系时,BFABC的角平分线?请说明理由.

【答案】(1)证明见解析;(2)当AECF时,BF为△ABC的角平分线.理由见解析.

【解析】试题分析:

1)由等腰直角三角形的性质可证得∠A=∠BCG=45°,再由∠ACE+∠BCE=90°∠CBG+∠BCE=90°,得到∠ACE=∠CBG,这样结合AC=BC“ASA”可证△ACE≌△CBG就可得到结论了;

2)当AE=CF时,BF是△ABC的角平分线;由AE=CFAE=CG,可得CF=CG,这样∠CFG=∠CGF,进一步就可证得∠CBF=∠DBF,从而可得BF平分∠ABC.

试题解析:

1∵∠ACB90°ACBCCD是中线,

∴∠ACEBCE90°AABCBCG45°

CEBF,垂足为H∴∠BHC90°

∴∠CBGBCE90°

∴∠ACECBG

ACECBG

∴△ACE≌△CBG

∴AECG

2)当AECF时,BF△ABC的角平分线.

理由如下:∵AECFAECG

∴CFCG

∴∠CFG∠CGF

∵∠CFG∠A∠ABF∠CGF∠BCG∠CBF∠A∠BCG

∴∠ABF∠CBF.即BF△ABC的角平分线.

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