题目内容
【题目】(本小题满分13分)在平面直角坐标系中,O为原点,直线y =-2x-1与y轴交于点A,与直线y =-x交于点B,点B关于原点的对称点为点C.
(1)求过A,B,C三点的抛物线的解析式;
(2)P为抛物线上一点,它关于原点的对称点为Q.
①当四边形PBQC为菱形时,求点P的坐标;
②若点P的横坐标为t(-1<t<1),当t为何值时,四边形PBQC面积最大,并说明理由.
【答案】(1)y=x2-x-1(2)①点P的坐标为(1+,1+
)或(1-
,1-
)②2
【解析】
试题分析:(1)根据直线y =-2x-1与y轴交于点A,与直线y =-x交于点B,点B关于原点的对称点为点C,构造方程组可求A、B、C的坐标;然后利用待定系数法设出二次函数的解析式,代入点的坐标可求解析式;
(2)①如图1,根据点P在抛物线上,可设P点的坐标为(m,),根据菱形的对角线互相垂直平分的性质知PQ在直线y=x上,因此可求得m的值,即可求P点的坐标;
②如图2,设点P的坐标为(t,t2 - t - 1).过点P作PD∥y轴,交直线y = - x于点D,则D(t,- t).分别过点B,C作BE⊥PD,CF⊥PD,垂足分别为点E,F.可以表示出PD的长的关系式,以及BE+CF值,从而表示出,然后可求菱形的面积,根据二次函数的最值的性质求得四边形的最大面积.
试题解析:解:(1)解方程组得
∴点B的坐标为(-1,1)
∵点C和点B关于原点对称,
∴点C的坐标为(1,-1).
又∵点A是直线y=-2x-1与y轴的交点,
∴点A的坐标为(0,-1).
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,
∴
解得
∴抛物线的解析式为y=x2-x-1.
(2)①如图1,∵点P在抛物线上,
∴可设点P的坐标为(m,m2-m-1).
当四边形PBQC是菱形时,O为菱形的中心,
∴PQ⊥BC,即点P,Q在直线y = x上,
∴m = m2-m-1,
解得m = 1±.
∴点P的坐标为(1+,1+
)或(1-
,1-
).
②方法一:
如图2,设点P的坐标为(t,t2 - t - 1).
过点P作PD∥y轴,交直线y = - x于点D,则D(t,- t).
分别过点B,C作BE⊥PD,CF⊥PD,垂足分别为点E,F.
∴PD = - t -( t2 - t -1)= - t2 + 1,BE + CF = 2,
∴=
PD·BE +
PD·CF
=PD·(BE + CF)
=(- t2 + 1)×2
=- t2 + 1.
∴=-2t2+2.
∴当t=0时,有最大值2.
方法二:
如图3,过点B作y轴的平行线,过点C作x轴的平行线,两直线交于点D,连接PD.
∴S△PBC=S△BDC-S△PBD-S△PDC
=×2×2-
×2(t+1)-
×2(t2-t-1+1)
=-t2+1.
∴=-2t2+2.
∴当t=0时,有最大值2.
方法三:如图4,过点P作PE⊥BC,垂足为E,作PF∥x轴交BC于点F.
∴PE=EF.
∵点P的坐标为(t,t2-t-1),
∴点F的坐标为(-t2+t+1,t2-t-1).
∴PF=-t2+t+1-t=-t2+1.
∴PE=(-t2+1).
∴S△PBC=BC·PE=
×
×
(-t2+1)
=-t2+1.
∴=-2t2+2.
∴当t=0时,有最大值2.
