Question

19、已知关于x的一元二次方程x²-2x-m+1=0．
（1）若x=3是此方程的一个根，求m的值和它的另一个根；
（2）若方程x²-2x-m+1=0有两个不相等的实数根，试判断另一个关于x的一元二次方程x²-（m-2）x+1-2m=0的根的情况．

Answer 1

分析：（1）把x=3代入方程可直接求出m的值，然后把m的值代入原方程，再求另一解；
（2）由方程x²-2x-m+1=0有两个不相等的实数根，得出△＞0，从而求出m＞0，再由根的辨别式△判断一元二次方程x²-（m-2）x+1-2m=0的根即可．

解答：解：（1）由已知得，
（-3）²-2×（-3）-m+1=0，
∴m=16，原方程化为x²-2x-15=0，解得x₁=5，x₂=-3，
∴原方程的另一根为5；
（2）依题意得，（-2）2-4×1×（-m+1）＞0，
解得m＞0，
∴一元二次方程x²-（m-2）x+1-2m=0的判别式为，
（m-2）²-4×1×（1-2m）=m²+4m＞0，
即一元二次方程x²-（m-2）x+1-2m=0也有两个不相等的实数根．

点评：总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．