Question

如图，已知抛物线与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C．
（1）直接写出A、D、C三点的坐标；
（2）若点M在抛物线上，使得△MAD的面积与△CAD的面积相等，求点M的坐标；
（3）设点C关于抛物线对称轴的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）A点坐标为（4，0），D点坐标为（﹣2，0），C点坐标为（0，﹣3）；
（2）M点坐标为（2，﹣3）或（1+，3）或（1﹣，3）；
（3）结论：在抛物线上存在一点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形；点P的坐标为（﹣2，0）或（6，6）．

试题分析：(1)令Y=0,X=0就可以得到
根据已知先求得对称轴,由于△MAD的面积与△CAD的面积相等,所以有两种情况,一种是点M在X轴下方,此时点M与点C关于对称轴对称,另一种是点M在X轴上方,由于面积相等,而AD是两个三角形公用的,所以可知点M的纵坐标为3,将Y=3代入解析式就可求得.
分情况讨论,一种是BC、AP为底，此时P点与D点重合；一种是AB、CP为底，此时要先求出AB所在直线的解析式，然后根据互相平行的两直线的K值相等，求出CP的解析式，与二次函数的解析式联立，得到方程组，求解即可得到。
试题解析：（1）∵y=x²﹣x﹣3，∴当y=0时，x²﹣x﹣3=0，
解得x₁=﹣2，x₂=4．当x=0，y=﹣3．
∴A点坐标为（4，0），D点坐标为（﹣2，0），C点坐标为（0，﹣3）；
（2）∵y=x²﹣x﹣3，∴对称轴为直线x==1．
∵AD在x轴上，点M在抛物线上，
∴当△MAD的面积与△CAD的面积相等时，分两种情况：
①点M在x轴下方时，根据抛物线的对称性，可知点M与点C关于直线x=1对称，
∵C点坐标为（0，﹣3），∴M点坐标为（2，﹣3）；
②点M在x轴上方时，根据三角形的等面积法，可知M点到x轴的距离等于点C到x轴的距离3．当y=3时，x²﹣x﹣3=3，解得x₁=1+，x₂=1﹣，
∴M点坐标为（1+，3）或（1﹣，3）．
综上所述，所求M点坐标为（2，﹣3）或（1+，3）或（1﹣，3）；
（3）结论：存在．

如图所示，在抛物线上有两个点P满足题意：
①若BC∥AP₁，此时梯形为ABCP₁．
由点C关于抛物线对称轴的对称点为B，可知BC∥x轴，则P₁与D点重合，
∴P₁（﹣2，0）．∵P₁A=6，BC=2，∴P₁A≠BC，∴四边形ABCP₁为梯形；
②若AB∥CP₂，此时梯形为ABCP₂．
∵A点坐标为（4，0），B点坐标为（2，﹣3），∴直线AB的解析式为y=x﹣6，
∴可设直线CP₂的解析式为y=x+n，将C点坐标（0，﹣3）代入，得b=﹣3，
∴直线CP₂的解析式为y=x﹣3．∵点P₂在抛物线y=x²﹣x﹣3上，
∴x²﹣x﹣3=x﹣3，化简得：x²﹣6x=0，解得x₁=0（舍去），x₂=6，
∴点P₂横坐标为6，代入直线CP₂解析式求得纵坐标为6，∴P₂（6，6）．
∵AB∥CP₂，AB≠CP₂，∴四边形ABCP₂为梯形．
综上所述，在抛物线上存在一点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形；点P的坐标为（﹣2，0）或（6，6）．