题目内容
【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90,AC=BC=2,E、F为线段AB上两动点,且∠ECF=45°,过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点D,垂足分别为H、G.现有以下结论:①当点E与点B重合时,DH=1;②GF+EH=EF;③AF2+BE2=EF2;④DGDH=2,其中正确结论为( )
A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④
【答案】B
【解析】试题解析:解:①如图1,当点E与点B重合时,点H与点B重合,∴DB⊥BC,∠DBC=90°,∵DG⊥AC,∴∠DGC=90°=∠ACB=∠DBC,∴DG∥BC,四边形DGCB是矩形,∴DH=DB=CG,∵∠FCE=45°=∠ABC,∠A=∠ACF=45°,∴CE=AF=BF,∴FG是△ACB的中位线,∴GC=AC=DH,故①正确;
②如果CG=CH或者GCHD是正方形,如图,把△ECH绕点C逆时针旋转90°,得到△MCG,则MC=CE,∠MCG=∠ECH,∵∠ACB=90°,∠ECF=45°,∴∠GCF+∠ECH=45°,∴∠GCF+∠MCG=45°,∴∠MCF=∠FCE=45°,在△MCF和△ECF中,∵MC=EC,∠MCF=∠ECF,CF=CF,∴△MCF≌△ECF,∴MF=EF,∴MG+FG=EF,∴EH+GF=EF.
一般情况下,CG≠CH或者GCHD不是正方形,故②错误;
③如图2所示,∵AC=BC,∠ACB=90°,∴∠A=∠5=45°.
将△ACF顺时针旋转90°至△BCK,则CF=CK,∠1=∠4,∠A=∠6=45°;BK=AF;
∵∠2=45°,∴∠1+∠3=∠3+∠4=45°,∴∠KCE=∠2.
在△ECF和△ECK中,CF=CK,∠2=∠KCE,CE=CE,∴△ECF≌△ECK(SAS),∴EF=KE.
∵∠5=45°,∴∠BKE=90°,∴KE2=BK2+BE2,即EF2=AF2+BE2,故③正确;
④∵∠7=∠1+∠A=∠1+45°=∠1+∠2=∠ACE,∵∠A=∠5=45°,∴△ACE∽△BFC,∴ ,∴AEBF=ACBC=4,由题意知四边形CHDG是矩形,∴DG∥BC,DH=CG, DH∥AC,∴; ,即 ; ,∴DG=AE;DH=BF,∴DGDH=AE×BF=AEBF=ACBC=2,故④正确.
故答案为:①③④.