题目内容

【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90,ACBC=2,EF为线段AB上两动点,且∠ECF=45°,过点EF分别作BCAC的垂线相交于点D,垂足分别为HG.现有以下结论:①当点E与点B重合时,DH=1;②GFEHEF;③AF2BE2EF2;④DGDH=2,其中正确结论为( )

A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④

【答案】B

【解析】试题解析:解:如图1,当点E与点B重合时,点H与点B重合,DBBCDBC=90°DGAC∴∠DGC=90°=ACB=DBCDGBC,四边形DGCB是矩形,DH=DB=CG∵∠FCE=45°=ABCA=ACF=45°CE=AF=BFFGACB的中位线,GC=AC=DH,故正确;

如果CG=CH或者GCHD是正方形如图,把△ECH绕点C逆时针旋转90°,得到△MCG,则MC=CEMCG=∠ECH∵∠ACB=90°ECF=45°∴∠GCF+∠ECH=45°∴∠GCF+∠MCG=45°∴∠MCF=∠FCE=45°在△MCF和△ECF中,∵MC=ECMCF=∠ECFCF=CF∴△MCF≌△ECFMF=EFMG+FG=EFEH+GF=EF

一般情况下,CGCH或者GCHD不是正方形,故②错误

如图2所示,AC=BCACB=90°∴∠A=∠5=45°

ACF顺时针旋转90°BCK,则CF=CK∠1=∠4A=∠6=45°BK=AF

∵∠2=45°∴∠1+∠3=∠3+∠4=45°∴∠KCE=∠2

ECFECK中,CF=CK∠2=∠KCECE=CE∴△ECF≌△ECKSAS),EF=KE

∵∠5=45°∴∠BKE=90°KE2=BK2+BE2,即EF2=AF2+BE2,故正确

④∵∠7=1+A=1+45°=1+2=ACE∵∠A=5=45°∴△ACE∽△BFC AEBF=ACBC=4,由题意知四边形CHDG是矩形,DGBCDH=CG DHAC ,即 DG=AEDH=BFDGDH=AE×BF=AEBF=ACBC=2,故正确

故答案为:①③④

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