Question

【题目】

材料：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如|5﹣3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离：|5+3|=|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5、3在数轴而对应的两点之间的距离：|5|=|5﹣0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到距点的距离．

一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数x、﹣2、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为 （用含绝对值的式子表示）．

（2）利用数轴探究：

①满足|x﹣3|+|x+1|=6的x的所有值是 ．

②|x﹣3|+|x+1|的最小值是 ．

（3）求|x﹣3|+|x+1|+|x﹣2|的最小值以及取最小值时x的值．

Answer 1

【答案】（1）|x+2|+|x﹣1|；（2）①﹣2，4；②4．（3）x=2时，原式=4．

【解析】试题分析：（1）根据两点间的距离公式，可得答案；

（2）①根据两点间的距离公式，点在线段上，即可解答；

②为x为有理数，所以要分类讨论x﹣1与x+3的正负，再去掉绝对值符号再计算；

（3）|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|=（|x﹣3|+|x+1|）+|x﹣2|，根据问题（2）中的探究②可知，要使|x﹣3|+|x+1|的值最小，x的值只要取﹣1到3之间（包括﹣1、3）的任意一个数，要使|x﹣2|的值最小，x应取2，显然当x=2时能同时满足要求，把x=2代入原式计算即可．

解：（1）A到B的距离与A到C的距离之和可表示为|x+2|+|x﹣1|，故答案为：|x+2|+|x﹣1|；

（2）①根据数轴可得，满足|x﹣3|+|x+1|=6的x的所有值是﹣2，4，故答案为：﹣2，4；

②：因为x为有理数，就是说x可以为正数，也可以为负数，也可以为0，所以要分情况讨论．

当x＜﹣1时，x+1＜0，x﹣3＜0，所以|x+1|+|x﹣3|=﹣（x+1）﹣（x﹣3）=﹣2x+2＞4；

当﹣1≤x＜3时，x+1≥0，x﹣3＜0，所以|x+1|+|x﹣3|=（x+1）﹣（x﹣3）=4；

当x≥3时，x+1＞0，x+3≥0，所以|x﹣3|+|x+1|=（x﹣3）+（x+1）=2x+2≥4；

综上所述，所以|x﹣1|+|x+3|的最小值是4．

故答案为：4．

（3）由分析可知，

当x=2时能同时满足要求，把x=2代入原式=1+0+3=4．