Question

如图，点A、B的坐标分别为（4，0）、（0，8），点C是线段OB上一动点，点E在x轴正半轴上，四边形OEDC是矩形，且OE=2OC．设OE=t（t＞0），矩形OEDC与△AOB重合部分的面积为S．
根据上述条件，回答下列问题：
（1）当矩形OEDC的顶点D在直线AB上时，求t的值；
（2）当t=4时，求S的值；
（3）直接写出S与t的函数关系式（不必写出解题过程）；
（4）若S=12，则t=

 

．

Answer 1

分析：（1）证明△BCD∽△BOA，利用线段比求出t值．
（2）当t=4时，点E与A重合，证明△CBF∽△OBA求出CF．
（3）根据t的取值范围求出S的值．

解答：解：（1）由题意可得∠BCD=∠BOA=90°，∠CBD=∠OBA，
∴△BCD∽△BOA，
∴

BC

BO

=

CD

OA

而CD=OE=t，BC=8-CO=8-

t

2

，OA=4，
则

8- t 2

8

=

t

4

，
解得t=

16

5

，
∴当点D在直线AB上时，t=

16

5

．（2分）

（2）当t=4时，点E与A重合，设CD与AB交于点F，
则由△CBF∽△OBA得

CF

CB

=

OA

OB

，
即

CF

8-2

=

4

8

，
解得CF=3，
∴S=

1

2

OC(OE+CF)=

1

2

×2×(3+4)=7．（3分）

（3）①当0＜t≤

16

5

时，S=

1

2

t2（1分）
②当

16

5

＜t≤4时，S=-

17

16

t2+10t-16（1分）
③当4＜t≤16时，S=-

1

16

t2+2t（1分）
分析：①当0＜t≤

16

5

时，如图（1），
②当

16

5

＜t≤4时，如图（2），
∵A（4，0），B（0，8），∴直线AB的解析式为y=-2x+8，
∴G(t，-2t+8)，F(4-

t

4

，

t

2

)，
∴DF=

5

4

t-4，DG=

5

2

t-8，
∴S=S矩形COED-S△DFG=t•

t

2

-

1

2

(

5

4

t-4)(

5

2

t-8)=-

17

16

t2+10t-16
③当4＜t≤16时，如图（3）
∵CD∥OA，∴△BCF∽△BOA，∴

BC

BO

=

CF

OA

，∴

8- t 2

8

=

CF

4

，∴CF=4-

t

4

，
∴S=S△BOA-S△BCF=

1

2

×4×8-

1

2

×(4-

t

4

)(8-

t

2

)=-

1

16

t2+2t

（4）8（2分）
分析：由题意可知把S=12代入S=-

1

16

t2+2t中，-

1

16

t2+2t=12，
整理，得t²-32t+192=0，
解得t₁=8，t₂=24＞16（舍去），
∴当S=12时，t=8．

点评：本题考查的是二次函数的综合运用，相似三角形的判定以及考生的做题能力．