题目内容

【题目】已知,AB是O的直径,点P在弧AB上(不含点A、B),把AOP沿OP对折,点A的对应点C恰好落在O上.

(1)当P、C都在AB上方时(如图1),判断PO与BC的位置关系(只回答结果);

(2)当P在AB上方而C在AB下方时(如图2),(1)中结论还成立吗?证明你的结论;

(3)当P、C都在AB上方时(如图3),过C点作CD直线AP于D,且CD是O的切线,证明:AB=4PD.

【答案】(1)PO与BC的位置关系是POBC;(2)中的结论成立,理由见试题解析;(3)证明见试题解析.

【解析】

试题分析:(1)PO与BC的位置关系是平行;

(2)中的结论成立,理由为:由折叠可知三角形APO与三角形CPO全等,根据全等三角形的对应角相等可得出APO=CPO,再由OA=OP,利用等边对等角得到A=APO,等量代换可得出A=CPO,又根据同弧所对的圆周角相等得到A=PCB,再等量代换可得出CPO=PCB,利用内错角相等两直线平行,可得出PO与BC平行;

(3)由CD为圆O的切线,利用切线的性质得到OC垂直于CD,又AD垂直于CD,利用平面内垂直于同一条直线的两直线平行得到OC与AD平行,根据两直线平行内错角相等得到APO=COP,再利用折叠的性质得到AOP=COP,等量代换可得出APO=AOP,再由OA=OP,利用等边对等角可得出一对角相等,等量代换可得出三角形AOP三内角相等,确定出三角形AOP为等边三角形,根据等边三角形的内角为60°得到AOP为60°,由OP平行于BC,利用两直线平行同位角相等可得出OBC=AOP=60°,再由OB=OC,得到三角形OBC为等边三角形,可得出COB为60°,利用平角的定义得到POC也为60°,再加上OP=OC,可得出三角形POC为等边三角形,得到内角OCP为60°,可求出PCD为30°,在直角三角形PCD中,利用30°所对的直角边等于斜边的一半可得出PD为PC的一半,而PC等于圆的半径OP等于直径AB的一半,可得出PD为AB的四分之一,即AB=4PD,得证.

试题解析:(1)PO与BC的位置关系是POBC;

(2)(1)中的结论POBC成立,理由为:由折叠可知:APO≌△CPO,

∴∠APO=CPO,又OA=OP,∴∠A=APO,∴∠A=CPO,

∵∠A与PCB都为所对的圆周角,∴∠A=PCB,∴∠CPO=PCB,

POBC;

(3)CD为圆O的切线,OCCD,又ADCD,OCAD,∴∠APO=COP,

由折叠可得:AOP=COP,∴∠APO=AOP,又OA=OP,∴∠A=APO,

∴∠A=APO=AOP,∴△APO为等边三角形,∴∠AOP=60°,又OPBC,

∴∠OBC=AOP=60°,又OC=OB,∴△BCO为等边三角形,∴∠COB=60°

∴∠POC=180°﹣AOP+COB)=60°,又OP=OC,

∴△POC也为等边三角形,

∴∠PCO=60°,PC=OP=OC,

∵∠OCD=90°

∴∠PCD=30°

在RtPCD中,PD=PC,

PC=OP=AB,

PD=AB,即AB=4PD.

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