题目内容

【题目】如图,在正六边形ABCDEF内放入2008个点,若这2008个点连同正六边形的六个顶点无三点共线,则该正六边形被这些点分成互不重合的三角形共个.

【答案】4020
【解析】∵正六边形ABCDEF内放入2008个点,这2008个点连同正六边形的六个顶点无三点共线,
∴共有2008+6=2014个点.
∵在正六边形内放入1个点时,该正六边形被这个点分成互不重合的三角形共6个;即当n=1时,有6个;
然后出现第2个点时,这个点必然存在于开始的6个中的某一个三角形内,然后此点将那个三角形又分成3个三角形,三角形数量便增加2个;
又出现第3个点时,同理,必然出现在某个已存在的三角形内,然后又将此三角形1分为3,增加2个…,
∴内部的点每增加1个,三角形个数便增加2个.
于是我们得到规律:存在n个点时,三角形数有:6+2(n-1)=2n+4(n≥1).
由题干知,2008个点的总数为2×2008+4=4020(个).
【考点精析】解答此题的关键在于理解正多边形和圆的相关知识,掌握圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角;圆的外切四边形的两组对边的和相等.

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