题目内容
如图所示，⊙O1和⊙O2外切于点A，AB是⊙O1的直径，BD切⊙O2于点D，交⊙O1O2于点C，求证：AB•CD=AC•BD．
分析：连接DO2，由BD为圆O2的切线，利用切线的性质得到BD垂直于O2D，由AB为圆O1的直径，利用直径所对的角为直角，得到一对直角相等，再由一对公共角，利用两对对应角相等的两三角形相似得到三角形ABC与三角形O2BD相似，由相似得比例，变形即可得证．
解答：
证明：连接DO2，
∵BD为圆O2的切线，
∴BD⊥O2D，
∵AB为圆O1的直径，
∴BC⊥AC，
∴∠ACB=∠O2DB=90°，
∵∠ABC=∠O2BD，
∴△ABC∽△O2BD，
∴AB：AC=BO2：DO2，BD：DC=BO2：AO2，
∵DO2=AO2，
∴AB：AC=BD：DC，
即AB•CD=AC•BD．
证明：连接DO2，∵BD为圆O2的切线，
∴BD⊥O2D，
∵AB为圆O1的直径，
∴BC⊥AC，
∴∠ACB=∠O2DB=90°，
∵∠ABC=∠O2BD，
∴△ABC∽△O2BD，
∴AB：AC=BO2：DO2，BD：DC=BO2：AO2，
∵DO2=AO2，
∴AB：AC=BD：DC，
即AB•CD=AC•BD．
点评：此题考查了相切两圆的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
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