Question

已知菱形ABCD的边长为2，设两邻边AD、AB的夹角为α（α≤90°），图1、图2、图3分别是α为60°，45°，30°时的一组图形，

（1）当α=60°时，菱形ABCD的面积为：S=

 

；
（2）当α=45°时，菱形ABCD的面积为：S=

 

；
（3）当α=30°时，菱形ABCD的面积为：S=

 

．
联系与拓展：
（4）如图4，边长为a，两邻边AD、AB的夹角为α（α≤90°）的菱形ABCD的面积为S=

 

（用含α的代数式表示），
应用：
如图所示，在一个形状为长方形ABCD的广场中，连接各边的中点形成四边形EFGH，此时GH=10m，∠GHE=30°，此部分设计一个图案，若图案铺设每平米需要120元，铺设此图案共需多少元？

Answer 1

分析：（1）（2）（3）（4）根据三角函数，AB边上的高h=2sinα，再分别代入角α的度数，求得h，根据菱形的面积等于底乘以高求出答案即可；
应用：先判定四边形EFGH为菱形，过点E作EM⊥GF，由直角三角形的性质，求得EM，根据菱形的面积等于底乘以高求出四边形EFGH的面积，再由每平米需要120元得出答案．

解答：解：（1）∵AD=AB=2，α=60°，∴sinα=

h

AD

，
∴h=2sinα=2×

3

2

=

3

，
∴S=AB•h=2

3

；

（2）∵AD=AB=2，α=45°，
∴sinα=

h

AD

，
∴h=2sinα=2×

2

2

=

2

，
∴S=AB•h=2

2

；

（3）∵AD=AB=2，α=30°，
∴sinα=

h

AD

，
∴h=2sinα=2×

1

2

=1，
∴S=AB•h=2；

（4）∵AD=AB=2，
∴sinα=

h

AD

，
∴h=2sinα，
∴S=AB•h=2sinα；
应用：∵四边形ABCD为矩形，E、F、G、H分别为各边的中点，
∴△AEH≌△BEF≌△CGF≌△DGH，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH为菱形，
过点E作EM⊥GF，

∵GH=10m，∠GHE=30°，
∴EM=5m，
∴S_{四边形EFGH}=GF•EM=GH•EM=10×5=50m²，
∵图案铺设每平米需要120元，
∴铺设此图案共需120×50=6000元．
故答案为：2

3

； 2

2

； 2.4sinα．

点评：本题考查了菱形的判定和性质，菱形的面积等于底乘以高，要识记．