题目内容
【题目】如图,△ABC中,∠C=Rt∠,AB=5cm,BC=3cm,若动点P从点C开始,按C→A→B→C的路径运动,且速度为每秒1cm,设出发的时间为t秒.
(1)出发2秒后,求△ABP的周长.
(2)问t满足什么条件时,△BCP为直角三角形?
(3)另有一点Q,从点C开始,按C→B→A→C的路径运动,且速度为每秒2cm,若P、Q两点同时出发,当P、Q中有一点到达终点时,另一点也停止运动.当t为何值时,直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分?
【答案】(1))△ABP的周长(7+)cm;(2)或时,△BCP为直角三角形;(3)t=2或6.
【解析】试题分析:(1)过P作PE⊥AB,设CP=2t,根据角平分线的性质和勾股定理进行解答即可;
(2)分类讨论:当CP=CB时,△BCP为等腰三角形,若点P在AC上得t=3(s),若点P在AB上,则t=5.4s;当PC=PB时,△BCP为等腰三角形,作PD⊥BC于D,根据等腰三角形的性质得BD=CD,则可判断PD为△ABC的中位线,则AP=AB=,易得t=(s);当BP=BC=3时,△BCP为等腰三角形,则AP=AB-BP=2,易得t=6(s);
(3)分两种情况讨论:当P点在AC上,Q在AB上,则PC=t,BQ=2t-3,t+2t-3+3=6;当P点在AB上,Q在AC上,则AC=t-4,AQ=2t-8,t-4+2t-8=6,分别求得t的值即可.
试题解析:(1)如图1,过P作PE⊥AB,
∵点P恰好在∠BAC的角平分线上,且∠C=90°,AB=5cm,BC=3cm,
∴CP=EP,
∴△ACP≌△AEP(HL),
∴AC=4cm=AE,BE=5-4=1,
设CP=x,则BP=3-x,PE=x,
∴Rt△BEP中,BE2+PE2=BP2,
即12+x2=(3-x)2
解得x=,
∴BP=3-=,
∴CA+AB+BP=4+5+=,
∴t=÷1=(s);
(2)如图2,当CP=CB时,△BCP为等腰三角形,
若点P在CA上,则1t=3,
解得t=3(s);
如图3,当BP=BC=3时,△BCP为等腰三角形,
∴AP=AB-BP=2,
∴t=(4+2)÷1=6(s);
如图4,若点P在AB上,CP=CB=3,作CD⊥AB于D,则根据面积法求得CD=,
在Rt△BCD中,由勾股定理得,BD=,
∴PB=2BD=
∴CA+AP=4+5-=5.4,
此时t=5.4÷1=5.4(s);
如图5,当PC=PB时,△BCP为等腰三角形,作PD⊥BC于D,则BD=CD,
∴PD为△ABC的中位线,
∴AP=BP=AB=,
∴t=(4+)÷1=(s);
综上所述,t为3s或5.4s或6s或s时,△BCP为等腰三角形;
(3)如图6,当P点在AC上,Q在AB上,则PC=t,BQ=2t-3,
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分,
∴t+2t-3+3=6,
∴t=2(s);
如图7,当P点在AB上,Q在AC上,则AP=t-4,AQ=2t-8,
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分,
∴t-4+2t-8=6,
∴t=6(s);
综上所述,当t=2或6秒时,直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分.