题目内容

【题目】如图,△ABC中,∠C=RtAB=5cmBC=3cm,若动点P从点C开始,按CABC的路径运动,且速度为每秒1cm,设出发的时间为t秒.

1)出发2秒后,求△ABP的周长.

2)问t满足什么条件时,△BCP为直角三角形?

3)另有一点Q,从点C开始,按CBAC的路径运动,且速度为每秒2cm,若PQ两点同时出发,当PQ中有一点到达终点时,另一点也停止运动.当t为何值时,直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分?

【答案】1))ABP的周长(7+)cm;(2时,△BCP为直角三角形;(3t=26.

【解析】试题分析:(1)过PPEAB,设CP=2t,根据角平分线的性质和勾股定理进行解答即可;

2)分类讨论:当CP=CB时,BCP为等腰三角形,若点PAC上得t=3s),若点PAB上,则t=5.4s;当PC=PB时,BCP为等腰三角形,作PDBCD,根据等腰三角形的性质得BD=CD,则可判断PDABC的中位线,则AP=AB=,易得t=s);当BP=BC=3时,BCP为等腰三角形,则AP=AB-BP=2,易得t=6s);

(3)分两种情况讨论:当P点在AC上,QAB上,则PC=t,BQ=2t-3,t+2t-3+3=6;当P点在AB上,QAC上,则AC=t-4,AQ=2t-8,t-4+2t-8=6,分别求得t的值即可.

试题解析:(1)如图1,过PPEAB,

∵点P恰好在∠BAC的角平分线上,且∠C=90°,AB=5cm,BC=3cm,

CP=EP,

∴△ACP≌△AEP(HL),

AC=4cm=AE,BE=5-4=1,

CP=x,则BP=3-x,PE=x,

RtBEP中,BE2+PE2=BP2

12+x2=(3-x)2

解得x=

BP=3-=

CA+AB+BP=4+5+=

t=÷1=s);

(2)如图2,当CP=CB时,BCP为等腰三角形,

若点PCA上,则1t=3,

解得t=3(s);

如图3,当BP=BC=3时,BCP为等腰三角形,

AP=AB-BP=2,

t=(4+2)÷1=6(s);

如图4,若点PAB上,CP=CB=3,作CDABD,则根据面积法求得CD=

RtBCD中,由勾股定理得,BD=

PB=2BD=

CA+AP=4+5-=5.4

此时t=5.4÷1=5.4(s);

如图5,当PC=PB时,BCP为等腰三角形,作PDBCD,则BD=CD,

PDABC的中位线,

AP=BP=AB=

t=4+÷1=s);

综上所述,t3s5.4s6ss时,BCP为等腰三角形;

(3)如图6,当P点在AC上,QAB上,则PC=t,BQ=2t-3,

∵直线PQABC的周长分成相等的两部分,

t+2t-3+3=6,

t=2(s);

如图7,当P点在AB上,QAC上,则AP=t-4,AQ=2t-8,

∵直线PQABC的周长分成相等的两部分,

t-4+2t-8=6,

t=6(s);

综上所述,当t=26秒时,直线PQABC的周长分成相等的两部分.

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