Question

【题目】如图，已知，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，过点A的直线y=kx+k与该抛物线交于点C，点P是该抛物线上不与A，B重合的动点，过点P作PD⊥x轴于D，交直线AC于点E．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若k=-1，当PE=2DE时，求点P坐标；

（3）当（2）中直线PD为x=1时，是否存在实数k，使△ADE与△PCE相似？若存在请求出k的值；若不存在，请说明你的理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2-3x-4；（2）P点坐标为（5，6）或（1，﹣6）；（3）存在，当k=-2或-1时，△ADE与△PCE相似

【解析】

（1）将A、B两点坐标代入函数解析式y=x2+bx+c，利用待定系数法求解.

（2）设出P点的坐标，则可以表示出E、D的坐标，从而表示出PE和ED的长，由条件可得到关于P点坐标的方程，则可求得P点的坐标；

（3）∠AED=∠PEC,要使△ADE与△PCE相似，必有∠EPC=∠ADE=90°或∠ECP=∠ADE=90°，从而进行分类讨论求解.

（1）∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（4，0）两点，

∴，解得，

∴抛物线解析式为y=x2-3x-4；

（2）当k=-1时，直线AC的解析式为y=-x-1．

设P（x，x2-3x-4），则E（x，-x-1），D（x，0），

则PE=|x2-3x-4-（-x-1）|=|x2-2x-3|，DE=|x+1|，

∵PE=2ED，

∴|x2-2x-3|=2|x+1|，

当x2-2x-3=2（x+1）时，解得x=-1或x=5，但当x=-1时，P与A重合不合题意，舍去，

∴P（5，6）；

当x2-2x-3=-2（x+1）时，解得x=-1或x=1，

但当x=-1时，P与A重合不合题意，舍去，

∴P（1，-6）；

综上可知P点坐标为（5，6）或（1，﹣6）；

（3）存在．

∵∠AED=∠PEC，∴要使△ADE与△PCE相似，

必有∠EPC=∠ADE=90°或∠ECP=∠ADE=90°，

①当∠EPC=∠ADE=90°时，如图，轴，

∵P（1，﹣6），根据对称性可得C（2，﹣6），

将C（2，﹣6）代入AC解析式中，得2k+k=-6，解得，k=-2，

②当∠ECP=∠ADE=90°时，如图，过C点作CF⊥PD于点F，

则有∠FCP=∠PEC=∠AED，

则△PCF∽△AED，

∴，

易得E（1，2k），∴DE=-2k，

由得．

∴C(k+4，k2+5k)，∴F（1，k2+5k)，

∴CF=k+3，FP=k2+5k+6，

∴ ，解得，k1=k2=-1，k3=-3（此时C与P重合，舍去）

综上，当k=-2或-1时，△ADE与△PCE相似．