Question

【题目】请阅读下列材料，并完成相应的任务．

人类会作圆并且真正了解圆的性质是在2000多年前，由我国的墨子给出圆的概念：“一中同长也．”．意思说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100年．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．

我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．

弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数．

下面是弦切角定理的部分证明过程：

证明：如图①，AB与⊙O相切于点A．当圆心O在弦AC上时，容易得到∠CAB＝90°，所以弦切角∠BAC的度数等于它所夹半圆所对的圆周角度数．

如图②，AB与⊙O相切于点A，当圆心O在∠BAC的内部时，过点A作直径AD交⊙O于点D，在上任取一点E，连接EC，ED，EA，则∠CED＝∠CAD．

…

任务：

(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；

(2)如图③，AB与⊙O相切于点A．当圆心O在∠BAC的外部时，请写出弦切角定理的证明过程．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析

【解析】

（1）利用圆周角定理得到∠DEA＝90°，再根据同弧所对的圆周角相等得到∠CED＝∠CAD，最后利用等式的性质即可得到∠CEA＝∠CAB；

（2）通过∠C=90°说明∠CFA＋∠FAC＝90°，再根据同角的余角相等得到∠CAB＝∠CFA即可.

解：（1）∵AD是⊙O直径，

∴∠DEA＝90°．

∵AB与⊙O相切于点A，

∴∠DAB＝90°．

∴∠CED＋∠DEA＝∠CAD＋∠DAB，即∠CEA＝∠CAB．

∴弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数；

（2）证明：如图，过点A作直径AF交⊙O于点F，连接FC．

∵AF是直径，

∴∠ACF＝90°．

∴∠CFA＋∠FAC＝90°．

∵AB与⊙O相切于点A，

∴∠FAB＝90°．

∴∠CAB＋∠FAC＝90°．

∴∠CAB＝∠CFA，

即弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数．