Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，F、G分别为边BC、CD的中点，连接AF，FG，过D作DE∥GF交AF于点E．
（1）证明△AED≌△CGF；
（2）若梯形ABCD为直角梯形，判断四边形DEFG是什么特殊四边形？并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）由已知得到平行四边形AFCD，推出∠FAD=∠C，∠DEA=∠FGC，根据AAS即可证出答案；
（2）连接DF，BC=2AD、点F为BC中点，推出AD=BF，证出矩形ABFD，得到∠ADF=∠DFC=90°，根据直角三角形斜边上的中线的性质推出DE=FG，得到平行四边形DEFG，证出邻边DG=FG，即可推出答案．

解答：（1）证明；∵BC=2AD、点F为BC中点
∴CF=AD，
∵AD∥CF，
∴四边形AFCD为平行四边形
∴∠FAD=∠C，AF∥CD，
∴∠FAD=∠C
∵DE∥FG，
∴∠DEA=∠AFG，
∴∠DEA=∠FGC，
∵在△AED和△CGF中

∠DAE=∠C ∠AED=∠FGC AD=CF

，
∴△AED≌△CGF（AAS）．

（2）菱形．
证明：连接DF，
∵BC=2AD、点F为BC中点，
∴AD=BF，
∵AD∥BF，∠B=90°，
∴四边形ABFD是矩形，
∴∠ADF=∠DFC=90°，
∵△AED≌△CGF，
∴AE=CG，
∵四边形AFCD是平行四边形，
∴CD∥AF，
∵DE∥FG，
∴四边形DEFG是平行四边形，
又∵∠DFC=90°，点G为DC中点，
∴FG=DG，
∴平行四边形DEFG为菱形．
答：四边形DEFG是菱形．

点评：本题主要考查了梯形，平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定，直角三角形斜边上的中线的性质，菱形的判定，全等三角形的判定等知识点，解此题的关键是熟练地运用性质进行证明．此题较好，比较典型．