题目内容
【题目】如图,在△ABC中,∠ABC=90°,∠CAB=30°,AB=4.5cm.D是线段AB上的一个动点,连接CD,过点D作CD的垂线交CA于点E.设AD=xcm,CE=ycm.(当点D与点A或点B重合时,y的值为5.2)
探究函数y随自变量x的变化而变化的规律.
(1)通过取点、画图、测量,得到了x与y的几组对应值,如下表:
x/cm | 0 | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 | 3.5 | 4 | 4.5 |
y/cm | 5.2 | 4.8 | 4.4 | 4.0 | 3.8 | 3.6 | 3.5 | 3.6 | 5.2 |
(要求:补全表格,相关数值保留一位小数)
(2)建立平面直角坐标系xOy,描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点,画出该函数的图象;
(3)结合画出的函数图象,解决问题:当CE=2AD时,AD的长度约为 cm(结果保留一位小数).
【答案】(1)4.0;(2)见解析;(3)1.9.
【解析】
(1)如图,作辅助线:过E作EF⊥AB于F,证明△EFD∽△DBC,列比例式可得结论;
(2)描点画图即可;
(3)根据△EFD∽△DBC,列比例式,解方程可得结论.
解:(1)如图1,过E作EF⊥AB于F,
由表格可知:AC=5.2,AB=4.5,
Rt△ACB中,∠A=30°,
∴BC=AC=2.6,
当x=4时,即AD=4,
∴BD=0.5,
∵∠EDC=90°,
易得△EFD∽△DBC,
∴=
=
,
设EF=5a,FD=26a,则AE=10a,AF=5a,
∵AD=4,
∴5a+26a=4,
a=,
∴y=AC﹣AE=5.2﹣10×=5.2﹣
≈4.0;
x/cm | 0 | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 | 3.5 | 4 | 4.5 |
y/cm | 5.2 | 4.8 | 4.4 | 4.0 | 3.8 | 3.6 | 3.5 | 3.6 | 4.0 | 5.2 |
故答案为:4.0;
(2)如图2所示:
(3)设EF=a,则AE=2a,AF=a,
由(1)知:△EFD∽△DBC,
∴ ,即
=
,
∵AC=2a+y=5.2,
当CE=2AD时,y=2x,则2a+2x=5.2,即a+x=2.6,
∴a=2.6﹣x,
∴2.6(2.6﹣x)=(4.5﹣x)[x﹣(2.6﹣x)],
整理得:2.73x2﹣19.383x+27.001=0,
解得:x1≈5.2(舍),x2≈1.9,
故AD的长度约为1.9cm.
