题目内容

【题目】如图,在矩形ABCD中,AD=AB,∠BAD的平分线交BC于点EDHAE于点H,连接BH并延长交CD于点F,连接DEBF于点O,下列结论:①△ABE≌△ADH;②HE=CE;③HBF的中点;④AB=HF;其中正确的有(   )

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

由四边形ABCD是矩形,∠BAD的平分线交BC于点E,得出AD=BC,∠ABE=ADC=90°,∠BAE=DAE=45°,则△ABE是等腰直角三角形,得出∠BEH=45°AE= AB,推出AE=AD=BC,由AAS证得△ABE≌△AHD,故①正确;
由△ABE≌△AHD,得出∠HDA=45°AB=BE=DH=AH,则∠HDF=45°AE-AH=BC-BE,推出∠BEH=HDFHE=CE,故②正确;
AB=AH,得出∠ABH=AHB=FHE=(180°-BAE)=67.5°,则∠EBH=ABE-ABH=22.5°,∠DHF=DHE-FHE=22.5°,推出∠EBH=DHF,由ASA证得△EBH≌△DHF,得出BH=HF,即HBF的中点,故③正确;
AB=AH,∠BAH=45°,得出△ABH不是等边三角形,则AB≠BH,推出AB≠HF,故④错误.

∵四边形ABCD是矩形,∠BAD的平分线交BC于点E
AD=BC,∠ABE=ADC=90°,∠BAE=DAE=45°
∴△ABE是等腰直角三角形,
∴∠BEH=45°AE= AB

AD= AB

AE=AD=BC
在△ABE和△AHD中,


∴△ABE≌△AHD(AAS),故①正确;
∵△ABE≌△AHD
∴∠HDA=45°AB=BE=DH=AH
∴∠HDF=45°AE-AH=BC-BE
∴∠BEH=HDFHE=CE,故②正确;
AB=AH
∴∠ABH=AHB=FHE=(180°-BAE)=(180°-45°)=67.5°
∴∠EBH=ABE-ABH=90°-67.5°=22.5°,∠DHF=DHE-FHE=90°-67.5°=22.5°
∴∠EBH=DHF
在△EBH和△DHF中,


∴△EBH≌△DHF(ASA),
BH=HF
HBF的中点,故③正确;
AB=AH,∠BAH=45°
∴△ABH不是等边三角形,
AB≠BH
AB≠HF,故④错误;
综上所述,正确的命题为①②③,
故选:C

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