题目内容

【题目】如图,正方形ABCD中,对角线ACBD交于点O,将BD绕点B逆时针旋转30°到BE所在的位置,BEAD交于点F,分别连接DECE.

(1)求证:DE=DF

(2)求证:AEBD

(3)求tan∠ACE的值.

【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 (3)

【解析】试题分析:(1)根据旋转的性质和等腰三角形的性质易得∠BDE=∠BED=75°,根据正方形的性质可得∠ADB=45°,所以∠EDF=30°,在△DEF中,根据三角形的内角和定理可得∠DFE=75°,所以∠DFE=∠DEF,即可得DE=DF ;(2)过点E作EG⊥BD于点G,易证四边形AOGE是矩形,即可得结论;(3)设EG=x,则BE=BD=AC=2EG=2x, Rt△BEG中,由勾股定理可得BG= ,即可得OG=()x,再由AE=OG即可得结论.

试题解析:

(1)∵BD绕点B逆时针旋转30°至BE

∴∠DBE=30°,BD=BE,

∴∠BDE=∠BED==75°

在正方形ABCD中,BD是对角线,

∴∠ADB=45°,

∴∠EDF=75°45°=30°,

在△DEF中,∠DFE=180°EDF-FED

=180°30°75°

=75°

∴∠DFE=∠DEF

DE=DF

(2)证明:过点EEGBD于点G

∵∠DBE=30°

EG=

在正方形ABCD中,ACBD是对角线,

AC=BDOA= ACBD

EG=OAEGOA

∴四边形AOGE是平行四边形,

∴四边形AOGE是矩形

AEBD

(3)设EG=x

BE=BD=AC=2EG=2x,

RtBEG中,BG=

OG=BGBO=()x

在矩形AOGE中,∠EAO=90°

AE=OG=()x

tanACE=

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