题目内容
【题目】(2016山东潍坊第24题)如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F.
(1)如图1,连接AC分别交DE、DF于点M、N,求证:MN=AC;
(2)如图2,将△EDF以点D为旋转中心旋转,其两边DE′、DF′分别与直线AB、BC相交于点G、P,连接GP,当△DGP的面积等于3时,求旋转角的大小并指明旋转方向.
【答案】(1)详见解析;(2)将△EDF以点D为旋转中心,顺时针或逆时针旋转60°时,△DGP的面积等于3.
【解析】
试题分析:(1)连接BD,易证△ABD为等边三角形,由等腰三角形的三线合一得到AE=EB,根据相似三角形的性质解答即可;(2)分∠EDF顺时针旋转和逆时针旋转两种情况,根据旋转变换的性质解答即可.
试题解析:(1)证明:如图1,连接BD,交AC于O,
在菱形ABCD中,∠BAD=60°,AD=AB,
∴△ABD为等边三角形,
∵DE⊥AB,
∴AE=EB,
∵AB∥DC,
∴==,
同理, =,
∴MN=AC;
(2)解:∵AB∥DC,∠BAD=60°,
∴∠ADC=120°,又∠ADE=∠CDF=30°,
∴∠EDF=60°,
当∠EDF顺时针旋转时,
由旋转的性质可知,∠EDG=∠FDP,∠GDP=∠EDF=60°,
DE=DF=,∠DEG=∠DFP=90°,
在△DEG和△DFP中,
,
∴△DEG≌△DFP,
∴DG=DP,
∴△DGP为等边三角形,
∴△DGP的面积=DG2=3,
解得,DG=2,
则cos∠EDG==,
∴∠EDG=60°,
∴当顺时针旋转60°时,△DGP的面积等于3,
同理可得,当逆时针旋转60°时,△DGP的面积也等于3,
综上所述,将△EDF以点D为旋转中心,顺时针或逆时针旋转60°时,△DGP的面积等于3.