Question

如图，Rt△AOB是一张放在平面直角坐标系中的三角形纸片，点O与原点重合，点A在x轴上，点B在y轴上OB=

3

，∠BAO=30°，将Rt△AOB折叠，使OB边落在AB边上，点O与点D重合，折痕为BE．
（1）求点E和点D的坐标；
（2）求经过O、D、A三点的二次函数解析式；
（3）设直线BE与（2）中二次函数图象的对称轴交于点F，M为OF中点，N为AF中点，在x轴上是否存在点P，使△PMN的周长最小，若存在，请求出点P的坐标和最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据折叠的性质知：∠EBA=∠BAO=30°，由此可得∠OBE=30°，在Rt△OBE中，根据直角三角形的性质即可求得OE的长，从而得到点E的坐标．同理可在Rt△OAB中，得到OA、OB的长，也就得到了A、B的坐标，由于D是AB的中点，根据A、B的坐标，即可得到点D的坐标．
（2）已知了抛物线图象上的三点坐标，利用待定系数法求解即可．
（3）先求出直线BE的解析式，联立抛物线的对称轴放出，即可得到点F的坐标，进而可求出M、N的坐标；取点M关于x轴的对称点M′，M′的坐标易求得，即可得到直线M′N的解析式，那么直线M′N和x轴的交点即为所求的P点，求出P点后，即可得到PM、PN的值，而MN的长为OA的一半，即可得到△PMN的最小周长．

解答：解：（1）据题意可得∠1=

1

2

∠ABO，OB=BD=

3

，DE=OE，
∵Rt△AOB中，∠BAO=30°，
∴∠ABO=60°，OA=3，AB=2

3

，
∴∠1=30°，A（3，0），B（0，

3

）．
Rt△EOB中，∵tan∠1=

OE

OB

∴

OE

3

=

3

3

∴OE=1，∴E点坐标为（1，0）；
过点D作DG⊥OA于G，易知D是AB的中点，且A（3，0），B（0，

3

），
则OG=

1

2

OA=1.5，DG=

1

2

OB=

3

2

；
故D（1.5，

3

2

）．

（2）∵二次函数的图象经过x轴上的O、A两点，设二次函数的解析式为y=a（x-x₁）（x-x₂）；
据（1）得A点坐标为（3，0），
∴x₁=0，x₂=3，
把D点坐标（1.5，

3

2

）代入y=a（x-0）（x-3）
得a=-

2 3

9

，
∴二次函数的解析式为y=-

2 3

9

x2+

2 3

3

x．

（3）设直线BE的解析式为y=k₁x+b₁，把（0，

3

）和（1，0）分别代入y=k₁x+b₁
得：

k1=- 3 b1= 3

，
直线BE的解析式为y=-

3

x+

3

，
∵把x=1.5代入y=-

3

x+

3

得：y=-

3

2

，
F点坐标为（1.5，-

3

2

），M点坐标为（

3

4

，-

3

4

），N点坐标为（

9

4

，-

3

4

），
M点关于x轴对称的点的坐标为M'（

3

4

，

3

4

），
设直线M'N的解析式为y=k₂x+b₂，把（

3

4

，

3

4

）和（

9

4

，-

3

4

）分别代入y=k₂x+b₂
得：k2=-

3

3

，b2=

3

2

，
∴直线M'N的解析式为y=-

3

3

x+

3

2

，
把y=0代入y=-

3

3

x+

3

2

得x=

3

2

，
∴x轴上存在点P，使△PMN的周长最小，P点坐标为（

3

2

，0），PM=

( 3 2 - 3 4 )2+(0- 3 4 )2

=

3

2

，PN=

( 3 2 - 9 4 )2+(0- 3 4 )2

=

3

2

，
∴△PMN周长=

3

2

+

3

2

+

3

2

=

3

2

+

3

．

点评：此题主要考查了直角三角形的性质、二次函数解析式的确定、三角形中位线定理、平面展开-最短路径问题等知识，难度较大．