Question

如图，Rt△AOB是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片，点O与原点重合，点A在x轴上，点B在y轴上，OB=

3

，∠BAO=30度．将Rt△AOB折叠，使BO边落在BA边上，点O与点D重合，折痕为BC．
（1）求直线BC的解析式；
（2）求经过B，C，A三点的抛物线y=ax²+bx+c的解析式；若抛物线的顶点为M，试判断点M是否在直线BC上，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据题意易得∠OBC=∠DBC=30°，进而在Rt△COB可得C的坐标，又有B的坐标；进而可得BC的解析式；
（2）在Rt△AOB可得OA的长，即可得A的坐标；将ABC的坐标代入解析式方程可得abc的值，进而可得抛物线的解析式；将M的坐标代入判断其是否在抛物线上．

解答：解：（1）∵∠OBC=∠DBC=

1

2

∠OBA=

1

2

×（90°-30°）=30°
∴在Rt△COB中，OC=OB•tan30°=

3

×

3

3

=1
∴点C的坐标为（1，0）（2分）
又点B的坐标为（0，

3

）
∴设直线BC的解析式为y=kx+

3

∴0=k+

3

，
∴k=-

3

则直线BC的解析式为：y=-

3

x+

3

；（4分）

（2）∵在Rt△AOB中，OA=

OB

tan30°

=

3

÷

3

3

=3
∴A（3，0），
又∵B（0，

3

），C（1，0）
∴

0=9a+3b+c 3 =c 0=a+b+c

（7分）
解之得：a=

3

3

，b=-

4

3

3

，c=

3

∴所求抛物线的解析式为y=

3

3

x²-

4

3

3

x+

3

（8分）
配方得：y=

3

3

（x-2）²-

3

3

∴顶点为M(2，-

3

3

)（9分）
把x=2代入y=-

3

x+

3

，得：y=-

3

≠-

3

3

，
∴顶点M不在直线BC上．（10分）

点评：本题考查学生将二次函数的图象与解析式相结合处理问题、解决问题的能力．